《解直角三角形》教学设计

宁安农场中学　徐妍

复习目标：

1、理解锐角三角形函数角的三角函数的值。

2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应的锐角。

3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

每年中考都考查锐角三角形函数的概念，其中特殊三角函数值为考查的重点。解直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题。

复习策略：

1、要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值。

2、掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：

(1)了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念。

(2)将实际问题转化为数学问题，建立数学模型。

(3)涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题。

一、锐角三角函数与解直角三角形

(一)回顾与思考

(二)应用举例

1、锐角三角函数的定义和性质

例1　在△ABC中，∠C＝90⁰。

(1)若cosA＝，则tanB＝        ；

(2)若cosA＝，则tanB＝        。

例2　(1)已知：cosα＝，则锐角α的取值范围是（　　）

A、0⁰＜＜30⁰                 B、45⁰＜＜60⁰　

C、30⁰＜＜45⁰                D、60⁰＜＜90⁰

(2)当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是         （　　）

A、tan＞cos＞sin     　　B、sin＞cos＞tan

C、tan＞sin＞cos     　　D、cot＞sin＞cos

2、解直角三角形

例3　(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90⁰，

AD是∠BAC的平分线，∠CAB＝60⁰，CD＝，

BD＝2，求AC，AB的长。

(2)“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A＝30⁰，AC＝40米，BC＝25米，你能求出这块花园的面积吗？

(3)某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，

CD⊥AD，∠A＝60⁰，AB＝200m，CD＝100m，求

AD、BC的长。

提示：设法补成含60⁰的直角三角形再求解。

二、解直角三角形的应用

(一)回顾与思考

　　(二)应用举例　

1、关于坡角

例1　下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路。山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE＝5⁰，山坡路BC的坡角∠CBH＝12⁰。为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI＝5⁰。(精确到0.01米)

(1) 求山坡路AB的高度BE。

    (2) 降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？

（sin5⁰＝0.0872，cos5⁰＝0.9962，sin12⁰＝0.2079，cos12⁰＝0.9781）

2、方位角

例2　如图，MN表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图，在点M测得点N在它的南偏东30⁰的方向，测得另一点A在它的南偏东60⁰的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75⁰的方向，以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知MB＝400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？

提示：通过设未知数，利用函数定义建立

方程来寻求问题的解决是解直角三角形应用中

一种常用方法。

3、坡度

例3　为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米（如图所示）求：

    (1)渠面宽EF。

    (2)修200米长的渠道需挖的土方数。

三、巩固训练

1、在Rt△ABC中，∠C＝90⁰，a＝1 , c＝4 , 则sinA的值(   )

A、       　B、       　C、       　D、

2、在△ABC中，已知∠C＝90⁰，sinB＝，则cosA的值是(   )

A、    　　　 B、         C、         D、

3、在RtΔABC中,∠C＝90⁰,则下列等式中不正确的是  (    )

A、a＝csinA　　B、­a＝bcotB　 C、­b＝csinB　 D、­c＝

4、为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为                              (    )

A、米　　         B、米

C、米；　　       D、米

5、在△ABC中，∠C＝90⁰，，则∠B为      (    ）

A、30⁰       　 B、45⁰         C、60⁰        D、90⁰

6、某人沿倾斜角为的斜坡走了100米，则他上升的高度是  

         米。

7、如图，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AFE＝60⁰，再沿直线CB后退8米到D点，在D点又用测角器测得旗杆

顶A点的仰角∠AGE＝45⁰；已知测角器的高度是

1.6米，求旗杆AB的高度。(的近似值取1.7，

结果保留1位小数)

8、如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c。图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

  (1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。

  (2)用这个图形证明勾股定理。   

  (3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明)。