28．1锐角三角函数

第1课时  正弦函数

                                第三中学    牛慧玲

学习目标

1．能根据正弦概念正确进行计算；(重点)

2．能运用正弦函数解决实际问题．(难点)

教学过程

一、情境导入

 牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．

二、合作探究

探究点一：正弦函数

 如图，sinA等于(　　)

A．2  B.5(5)  C.2(1)  D.

解析：根据正弦函数的定义可得sinA＝2(1)，故选C.

方法总结：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝斜边(∠A的对边)＝c(a).

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题

探究点二：正弦函数的相关应用

【类型一】 在网格中求三角函数值

 如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于(　　)

A.10(10)  B.10(10)  C.3(1)  D．10

解析：∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB²＝BC²＋AC²，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝AB(AC)＝20(2)＝10(10).故选B.

方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型二】 已知三角函数值，求直角三角形的边长

 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝3(2)，则AB的长为(　　)

A.3(8)  B．6  C．12  D．8

解析：∵sinA＝AB(BC)＝AB(4)＝3(2)，∴AB＝6.故选B.

方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解，记住定义是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第6题

【类型三】 三角函数与等腰三角形的综合

 已知等腰三角形的一条腰长为25cm，底边长为30cm，求底角的正弦值．

解析：先作底边上的高AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝2(1)BC＝15cm，再由勾股定理求出AD，然后根据三角函数的定义求解．

解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.∵AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，AD为底边上的高，∴BD＝2(1)BC＝15cm.由勾股定理得AD＝＝20cm，∴sin∠ABC＝AB(AD)＝25(20)＝5(4).

方法总结：求三角函数值一定要在直角三角形中求值，当图形中没有直角三角形时，要通过作高，构造直角三角形解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型四】 在复杂图形中求三角函数值

 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果AD＝9，DC＝5，E为AC的中点，求sin∠EDC的值．

解析：首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据直角三角形的性质可得DE＝EC，根据等腰三角形性质可得∠EDC＝∠C，进而得到sin∠EDC＝sin∠C＝AC(AD).

解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝9，DC＝5，∴AC＝＝.∵E为AC的中点，∴DE＝AE＝EC＝2(1)AC，∴∠EDC＝∠C，∴sin∠EDC＝sin∠C＝AC(AD)＝106(9)＝106(106).

方法总结：求三角函数值的关键是找准直角三角形或利用等量代换将角或线段转化进行解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

【类型五】 在圆中求三角函数值

 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，求sin∠ABD的值．

解析：首先根据垂径定理得出∠ABD＝∠ABC，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB＝90°，根据勾股定理算出斜边AB的长，再根据正弦的定义求出sin∠ABC的值，从而得出sin∠ABD的值．

解：由条件可知︵(AC)＝︵(AD)，∴∠ABD＝∠ABC，∴sin∠ABD＝sin∠ABC.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝AB(AC)＝5(4).

方法总结：求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．

三、板书设计

1．正弦的定义；

2．利用正弦解决问题．