一、函数

1.变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

注：变量还分为自变量和因变量。

2.常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。

3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值．

4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法．

a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。

b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。

c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5.求函数的自变量取值范围的方法．

（1）要使函数的表达式有意义：a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；c、含二次根号时，让被开方数≠0 。

（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于0的条件。

6.求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．

7.描点法画函数图象的一般步骤如下：

 Step1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

 Step2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

 Step3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．

8.判断y是不是x的函数的题型

A、给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。

B、给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。

二、正比例函数

1.正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。注意点a、自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；b、比例系数k≠0；c、不含有常数项，只有x一次幂的单项而已。

2.正比例函数图像：一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx．

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

画正比例函数的最简单方法：

    （1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；

    （2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；

    （3）过点（0，0）与点（1，k）做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象。

三、一次函数

1.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．注意点a、自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；b、比例系数k≠0；c、常数项可有可无。

2.一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．

3.系数k的意义：k表征直线的倾斜程度，k值相同的直线相互平行，k不同的直线相交。

系数b的意义：b是直线与y轴交点的纵坐标。

当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

直线y=kx+b与y轴的交点是点（0，b）

与x轴的交点是点（-，0）

4.一次函数图像和解析式的系数之间的关系

5.画一次函数图像的最简单方法：

    （1）先选取两点，通常选出点（0，b）与点（-，0）；

    （2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；

    （3）过点（0，b）与点（-，0）做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象．

6. 待定系数法确定一次函数解析式：根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。步骤：

a、写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫做待定系数）．

b、把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）即x、y的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．（有几个待定系数，就要有几个方程）

c、解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式．

7.解析式与图像上点相互求解的题型

1求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组，求出k、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。

2求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令一个坐标值即可。

四、一次函数与一元一次方程

由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值y=0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值．

五、一次函数与一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值y大（小）于0时，求自变量x相应的取值范围．

用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>(<)0的部分，然后判断这部分线的x的取值范围。

六、一次函数与二元一次方程（组）

1.解二元一次方程组可以看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交点坐标。

2.求两条直线的交点的方法：将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。

一次函数测试题              姓名

（满分100分）

一、填空题（每题2分，共20分）

1、在同一直角坐标系中，对于函数：① y = – x – 1；② y = x + 1；③ y = – x +1；④y = – 2（x + 1）的图象，下列说法正确的是（   ）                                 

         A、通过点（– 1，0）的是①和③        B、交点在y轴上的是②和④

    C、相互平行的是①和③                D、关于x轴对称的是②和③

2、已知函数y= ，当x=a时的函数值为1，则a的值为（　   ）

    A．3                                     B．-1                                    C．-3                                    D．1

3、函数y=kx的图象经过点P(3，-1)，则k的值为(　   )

    A．3                                     B．-3                                    C．                                     D．-

4、下列函数中，图象经过原点的为(   　)

   A．y=5x+1                                                                  B．y=-5x-1

   C．y= —                                                                 D．y= 

5、5、点A（– 5，y₁）和B（– 2，y₂）都在直线y = – x上，则y₁与y₂的关系是（   ）  

         A、、y₁≤y₂          B、y₁＝y₂          C、y₁＜y₂           D、y₁＞y₂

6、函数y = k（x – k）（k<0） 的图象不经过（   ）                              

         A、第一象限       B、第二象限      C、第三象限      D、第四象限     

7、要从y= x的图像得到直线y= ，就要把直线y= x（    ）

（A）向上平移 个单位               （B）向下平移 个单位

（C）向上平移2个单位                （D）向下平移2个单位

8、一水池蓄水20 m³，打开阀门后每小时流出5 m³，放水后池内剩下的水的立方数Q (m³)与放水时间t(时)的函数关系用图表示为(   　)

 9、已知一次函数y=kx+b,  y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是(    )

(A)                         (B)                      （C）                   （D）

10．星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（     ）

(A)    从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了    (B)从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.

(C)从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,

继续向前走了一会,然后回家了.

(D)从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后

才开始返回.

二、填空题（每题2分，共12分）

1．函数自变量x的取值范围是_______________．

2．若函数y= -2x^m+2 +n-2正比例函数，则m的值是         ，n的值为________．

3．若直线y=kx+b平行于直线y=5x+3，且过点（2，-1），则k=______，b=______．

4．如右图：一次函数的图象经过A、B两点，则△AOC

的面积为___________．

5．根据下图所示的程序计算函数值，若输入的x值为，

则输出的结果为        .

6．观察下列各正方形图案，每条边上有n(n＞2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S．

按此规律推断出S与n的关系式为         ．

二、解答题（共68分）

17．（4分）已知一个一次函数，当时，；当时，，求这个一次函数的解析式已知，直线经过点A（3，8）和B（，）．求：

（1）k和b的值；（2）当时，y的值．

19．（6分）已知与成正比，且当时，．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若点（a，2）在这个函数图象上，求a．

20．（6分）利用图象解方程组

21．（6分）已知函数，

（1）若函数图象经过原点，求m的值；

（2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．

22．（6分）作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：

（1）当 -2≤x≤4时，求函数y的取值范围；

（2）当x取什么值时，y<0，y=0，y>0?

（3）当x取何值时，-4<y<2？

23．（10分）图中折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话时所需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系图像．

（1）从图像知，通话2分钟需付的电话费是      元．

（2）当t≥3时求出该图像的解析式（写出求解过程）．

（3）通话7分钟需付的电话费是多少元？

24．（10分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．

25．（12分）某公司在A、B两地分别有库存机器16台和12台，现要运往甲、乙两地，其中甲地15台，乙地13台．从A地运一台到甲地的运费为500元，到乙地为400元；从B地运一台到甲地的运费为300元，到乙地为600元．

    （1）设从A地运往甲地机器x台，求总费用y与x之间的函数关系式。

（2）公司应设计怎样的调运方案，能使这些机器的总运费最省？