校本成果作业续7

发布者：黄泽华     所属单位：潮阳棉北中学     发布时间：2015-07-11    浏览数：0

类型六、综合问题
　　10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，
设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.
　　①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；　　 ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；
　　③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)； 　　④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).
　　答案：①③.

　　11. 求下列函数的值域：
　　(1)(2)(3)
　　思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.
　　解：(1)；
　　　　(2)经观察知，，；
　　　　(3)令.

　　12. 已知函数f(x)=x²-2ax+a²-1.
　　(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
　　(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.
　　解：(1)∵f(x)=(x-a)²-1 ∴a≤0或a≥2
　　　　(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a²+2a
　　　　　 　　　
　　　　　 2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-1
　　　　　　　　　　　
　　　　　 3°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a²-2a
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　 ，如图
　　　　　　　　　　　　　

　　13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.
　　解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2
　　　　再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3
　　　　∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8)
　　　　.

　　14. 判断函数上的单调性，并证明.
　　证明：任取0＜x₁＜x₂，
　　　　　
　　　　　
　　　　　 ∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁·x₂＞0
　　　　　 (1)当时
　　　　　 　 0＜x₁·x₂＜1，∴x₁·x₂-1＜0
　　　　　 　 ∴f(x₁)-f(x₂)＞0即f(x₁)＞f(x₂)
　 　　　　　 上是减函数.
　　　　　 (2)当x₁，x₂∈(1，+∞)时，
　 　　　　　
　 　　　　　 上是增函数.
　　难点：x₁·x₂-1的符号的确定，如何分段.

　　15. 设a为实数，函数f(x)=x²+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
　　解：当a=0时，f(x)=x²+|x|+1，此时函数为偶函数；
　　　　当a≠0时，f(x)=x²+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
　　　　(1)当x≥a时，
　　　　　 [1]
　　　　　 　 且
　　　　　 [2]上单调递增，
　　　　　　　上的最小值为f(a)=a²+1.
　　　　(2)当x＜a时，
　　　　　 [1]上单调递减，
　　　　　　　上的最小值为f(a)=a²+1
　　　　　 [2]上的最小值为
　　　　综上：.