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【知识与技能】

了解圆的面积的含义,经历估算和小组操作、讨论等探索圆的面积公式的过程。

【过程与方法】

理解并掌握圆的面积公式,能正确运用公式进行计算,解决一些简单的实际问题。

【情感态度与价值观】

体验推导圆面积公式时的探索性和结论的确定性,感受“化曲为直”的转化的数学思想和方法。

重点:经历圆的面积公式的推导过程,理解并掌握圆的面积公式,能运用公式解决简单的实际问题。

难点:推导圆的面积计算公式。

课件,大小相等的圆形纸片(8等分的圆形纸片、16等分的圆形纸片)。

师:同学们,上节课我们学习了“圆的周长”,谁能告诉大家圆的周长公式是什么?

(C=πd或C=2πr)

师:这节课我们主要研究“圆的面积”。谁能说说什么是图形的面积?圆的面积指什么?

(明确:圆所占平面的大小就是圆的面积)

师:你还记得当初我们用什么方法推导出平行四边形、三角形、梯形的面积公式吗?

学生可能会说:

• 我们用割补的方法推导出了平行四边形的面积公式,就是沿着平行四边形的一条高剪下一个三角形,平移后补在另一边就可以转化成长方形,长方形的长就是平行四边形的底,长方形的宽就是平行四边形的高,所以平行四边形的面积=底×高。

• 推导三角形的面积公式,我们也用到了转化的方法,用两个完全相同的三角形就可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底就是三角形的底,平行四边形的高就是三角形的高,而一个三角形的面积是平行四边形面积的一半,所以三角形的面积=底×高÷2。

• 梯形面积公式的推导,我们同样用到了转化的方法,用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底是梯形上底与下底的和,平行四边形的高是梯形的高,而一个梯形的面积是平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。

师:这三种图形面积公式的推导方法有什么共同之处?

生:都是借助转化的方法,把不能解决的问题转变成我们会解决的问题,也就是把我们不会计算面积的图形,转化成我们会计算面积的图形。

师:你能比较出这两个图形面积的大小吗?遇到了什么问题?(课件出示:圆形与正方形)

生1:不能直观地看出这两个图形的大小。能不能把“圆”转化成我们学过的图形,进而推算圆的面积呢?

生2:圆的面积是否也有计算公式呢?

【设计意图:“温故而知新”,引导学生回忆之前接触过的图形面积公式的推导过程,唤起学生已有的图形转化法推导面积公式的经验,渗透着要求圆的面积也需从转化的思想入手,既为新课教学做好充分的准备,又在潜移默化中培养学生的迁移类推能力。】

1.估算圆的面积。

师:是啊,怎样知道一个圆的面积呢?(课件出示:教材第14页最上面图)

生1:根据第一幅图只能求出圆内最大正方形的面积,剩下的面积只能估算出来。

生2:根据第二幅图可以数整方格,但不是整格的就只能估算,这样圆的面积也只能估算出来。

师:是啊,用这样的方法我们只能估算出圆的面积,根本不能知道圆的实际面积。所以要想知道圆的面积,我们应该探究圆的面积计算公式,这样才比较准确。

2.推导圆的面积公式。

师:请大家先猜一猜圆的面积与什么有关,并说说这样猜想的根据。

学生可能会说:

• 圆的面积与半径有关,因为半径决定圆的大小。

• 圆的面积可能与直径有关,因为圆的大小与直径有关。

师:同学们说得似乎很有道理,那么圆的面积可以怎么计算呢?和它的半径或直径究竟有什么关系呢?

【设计意图:因为学生已经知道圆的大小由圆的半径决定,所以让学生展开有根有据的猜想,既为下面的教学做铺垫,又培养他们合理的猜想意识。】

师:我们之前研究平行四边形、三角形、梯形面积公式时,都是把未知的问题转化成已知的问题,那么能否将圆转化成以前学过的图形呢?试一试。跟小组同学合作并交流。

学生进行小组合作。

师:谁愿意把你们小组的研究发现告诉大家呢?

生1:我们把8等分的圆形纸片经过剪拼,可以得到近似的平行四边形。

生2:我们把16等分的圆形纸片经过剪拼,也可以得到近似的平行四边形。

生3:我们把拼成的这两组图形经过对比发现,圆形纸片分的份数越多,拼出的图形越接近平行四边形。

师:圆等分的份数越多,拼出的图形真的是越接近平行四边形吗?看一看,想一想。(课件出示:32等分的圆剪拼成平行四边形的过程)

学生认真观察课件演示过程。

师:仔细观察、认真思考,拼成的平行四边形与原来的圆之间有什么联系?可以跟小组同学商量讨论。

学生在小组内讨论。

师:谁愿意把你们讨论的结果告诉大家?

生1:平行四边形的面积相当于圆的面积。

生2:平行四边形的底相当于圆周长的一半。

生3:平行四边形的高相当于圆的半径。

师:根据平行四边形的面积计算公式,你能得出圆的面积计算公式吗?试试看。

生:如果用S表示圆的面积,r表示圆的半径,那么

平行四边形的面积=底×高

  　　　圆的面积S=πr²

 S=πr×r

【设计意图:通过学生剪拼,借助课件直观演示,采用转化、想象等方法,利用等积变形把圆的面积转化成学过的平面图形,逐步归纳概括出圆面积的计算方法,这样多层次的操作,多角度的思考,既沟通了新旧知识的联系,又培养了学生的推理能力。多媒体课件展示拼成图形的变化过程,更有利于学生理解圆面积公式的合理性。】

师:看看今天我们都学会了什么,说一说。

学生自由叙述自己学会了什么。

师:今天我们又一次运用转化的方法解决了未知的问题,在这个过程中动手操作、亲自试验也是很重要的。相信大家在今后,能更主动地运用这些思想方法去解决一些问题。

【设计意图:数学的教学,不仅是教会知识,而且要始终关注学生的数学思考,关注探索过程的有序、有效,重视渗透一定的数学思想方法。在此过程中,培养学生的数学素养和学习数学的能力。】