略阳县荣程中学   周欢琳

   第23章　一元二次方程

23.1 一元二次方程

教学目标：

【知识与技能 】1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）

2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元      二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力；

【情感态度价值观】通过学习生活中的数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生学习数学的兴趣。

重点难点：

1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程：

一 情境导入：

1．问题一     绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分　析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x(x＋10)＝900

整理可得                      x²＋10x－900=0.　　（1）

2．问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)²万册.可列得方程

5（1＋x）²=7.2,

整理可得                     5x²＋10x－2.2=0.　　　（2）

3．思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：

（1） 都是整式方程  

（2） 只含有一个未知数  

（3） 未知数的最高次数是2

二、探究新知

归纳：上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：

ax²＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.

三、 例题讲解与练习巩固

1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1）    （2）    （3）   （4） 

2．例2   将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1）           2）（x-2）(x+3)=8      3） 

说明：   一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3．例3 方程（2a—4）x² —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：当≠2时是一元二次方程；当＝2，≠0时是一元一次方程；

4．例4 已知关于x的一元二次方程(m-1)x²+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5．练习一 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

    2x(x-1)=3(x-5)-4     

练习二   关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？

本课小结：（学生总结，教师补充）

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为（≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

布置作业：课本习题23.1  1、2、3     

教学反思:

    学习本节课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分交流后概括得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题。