平行线的判定

【教学目标】

教学知识点

    1．平行线的判定公理。

    2．平行线的判定定理。

能力训练要求

    1．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力。

    2．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理。

    3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式。

情感与价值观要求

    通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想。

【教学重点】

    平行线的判定定理、公理。

【教学难点】

    推理过程的规范化表达。

【教学方法】

    尝试指导、引导发现与讨论相结合。

【教具准备】

投影片五张

    第一张：定理

    第二张：议一议

    第三张：定理

    第四张：想一想

    第五张：小结

【教学过程】

一、巧设现实情境，引入新课

［师］前面我们探索过直线平行的条件。大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？

［生甲］在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线。

［生乙］两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

［生丙］同位角相等，两直线平行。

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

［师］很好。这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的。

二、讲授新课

［师］看命题两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

［师］这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言。所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

如图，已知，∠1和∠2是直线A．b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥B．

那如何证明这个题呢？我们来分析分析。

［师生共析］要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明。这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行。

因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°，所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°，所以∠1=180°－∠2，因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．

［师］好。下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写。（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）

证明：∵∠1与∠2互补（已知）

∴∠1+∠2=180°（互补的定义）

［∵∠1+∠2=180°］

∴∠1=180°－∠2（等式的性质）

∵∠3+∠2=180°（1平角=180°）

∴∠3=180°－∠2（等式的性质）

［∵∠1=180°－∠2，∠3=180°－∠2］

∴∠1=∠3（等量代换）

［∵∠1=∠3］

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理。

这一定理可简单地写成：

同旁内角互补，两直线平行。

注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据。用来证明新定理。

（2）方括号内的“∵∠1+∠2=180°”等，就是上面刚刚得到的“∴∠1+∠2=180°”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略。

（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理。在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内。

好，下面大家来议一议

小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？

［生］我认为他的作法对。他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°，∠BEF=45°。因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°。而∠CFE与∠FEA是同旁内角。且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．

［师］很好。从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角。因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题。下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程。

［师生共析］已知，如图，∠1和∠2是直线A．b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．

求证：a∥b

证明：∵∠1=∠2（已知）

∠1+∠3=180°（1平角=180°）

∴∠2+∠3=180°（等量代换）

∴∠2与∠3互补（互补的定义）

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。

这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

这一定理可以简单说成：

内错角相等，两直线平行。

［师］刚才我们是应用判定定理“同旁内角互补，两直线平行”来证明这一定理的。下面大家来想一想

借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？

［生甲］已知，如图，直线a⊥c，b⊥C．

求证：a∥B．

证明：∵a⊥c，b⊥c（已知）

∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）

∴∠1=∠2（等量代换）

∴b∥a（同位角相等，两直线平行）

［生乙］由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论。

［师］同学们讨论得真棒。下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理。

三、课堂练习

1．蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′，∠β=70°32′，试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由。

解：这三个四边形的形状是平行四边形。

理由是：∵∠α=109°28′∠β=70°32′（已知）

∴∠α+∠β=180°（等式的性质）

∴AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）

四、课时小结

这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明。同学们来归纳一下完成下表

由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角。

注意：

    1．证明语言的规范化。

    2．推理过程要有依据。

    3．“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”这个真命题以后证。

课后作业

（1）直线平行的性质如何证明？

（2）总结归纳证明的一般步骤。

    活动与探究

1．你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？能证明你的作法吗？

［过程］通过这个活动，一来复习用尺规作图，二来熟悉掌握证明的步骤。

［结果］如图所示。

用圆规和直尺能作出两条平行线。

因为在作图中，作∠β=∠α。而∠α与∠β是同位角。由“同位角相等，两直线平行”可知：a∥B．

还可以作内错角，即：作一个角等于已知角α，使所作的角与∠α是内错角即可。

【板书设计】

平行线的判定定理

平行线的判定方法

    1．公理：同位角相等，两直线平行。

    2．定理：同旁内角互补，两直线平行。

已知：如图，∠1和∠2是直线A．b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥B．

证明：∵∠1与∠2互补（已知）

∴∠1+∠2=180°（互补的定义）

∴∠1=180°－∠2（等式的性质）

∵∠3+∠2=180°（1平角=180°）

∴∠3=180°－∠2（等式的性质）

∴∠1=∠3（等量代换）

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

    3．定理：内错角相等，两直线平行。

已知，如图，∠1和∠2是直线A．b被直线c截出的内错角。且∠1=∠2．

求证a∥B．