作业标题:圆锥曲线的理解 作业周期 : 2019-12-05 — 2020-01-31
所属计划:高中数学教学计划
作业要求: 请举出10-15个有关圆锥曲线的习题,说明学生掌握了这些题目就基本掌握了本章内容。
发布者:刘兴堂
提交者:学员石桂兰 所属单位:开封电子科技学校 提交时间: 2019-12-05 17:57:30 浏览数( 5 ) 【举报】
一、选择题
1.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积是( )
A.4 B.3
C.4 D.8
答案:C 命题立意:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的运算能力.根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F,写出直线方程,从而通过解方程组求出点A的坐标,得到三角形的底边长与高,计算出三角形的面积.
2.已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同,若以点F为圆心,为半径的圆与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为( )
A.-x2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
答案:D 解题思路:设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),而抛物线y2=8x的焦点为(2,0),即F(2,0),
3.已知数列{an}的通项公式为an=(nN*),其前n项和Sn=,则双曲线-=1的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x
解题思路:依题意得an=-,因此Sn=1-==,n=9,故双曲线方程是-=1,该双曲线的渐近线方程是y=± x=±x,故选C.
4.如图所示,F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A,B,且F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为( )
A.+1 B.+1
解题思路:连接AF1,依题意,得AF1AF2,又AF2F1=30, |AF1|=c,|AF2|=c,因此该双曲线的离心率e=+1,故选B.
5.设e1,e2分别为具有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,P是两曲线的一个公共点,且满足|+|=||,则 的值为( )
A. B.2
C. D.1
答案:A 解题思路:设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,不妨设m>n.由|+|=||知,F1PF2=90,则m2+n2=4c2, e1=
6.若双曲线-=1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x-m)2+y2≥16内,则实数m的取值范围是________.
解题思路:问题等价于已知双曲线的渐近线4x±3y=0与圆相离或者相切,故实数m满足≥4,即m≥5或m≤-5.
7.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:(x-1)2+y2=相切,且双曲线的右焦点为抛物线y2=4x的焦点,则该双曲线的标准方程为________.
解题思路:由题意可知双曲线中c=.设双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为kx-y=0,根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径,得k2=,即=.又a2+b2=()2,则a2=4,b2=1,所以所求的标准方程为-y2=1.
8.已知双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且MF1MF2,则点M到x轴的距离为________.
解题思路:设M(x,y),F1(-3,0),F2(3,0),则由MF1MF2,得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在双曲线上,故可以解方程组y2=,故点M到x轴的距离为.
9.已知椭圆C:+=1(a>)的右焦点F在圆D:(x-2)2+y2=1上,直线l:x=my+3(m≠0)交椭圆于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若(O为坐标原点),求m的值;
(3)设点N关于x轴的对称点为N1(N1与点M不重合),且直线N1M与x轴交于点P,试问PMN的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
解析:(1)由题设知,圆D:(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0),半径是1,
故圆D与x轴交于两点(3,0),(1,0).
所以在椭圆中,c=3或c=1,又b2=3,
所以a2=12或a2=4(舍去, a>).
于是,椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
直线l与椭圆C方程联立
化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,
y1+y2=,y1y2=.
x1+x2=m(y1+y2)+6=.
x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=++9=.
即x1x2+y1y2=0,得=0.
m2=,m=±.
(3) M(x1,y1),N1(x2,-y2),
直线N1M的方程为=.
令y=0,则x=+x1=
P(4,0
当且仅当m2+1=3,即m=±时等号成立,
故PMN的面积存在最大值1.
=2
当且仅当t=时等号成立,此时m2=2,
故PMN的面积存在最大值1.)
当且仅当t=时,此时m2=2,
故PMN的面积存在最大值,其最大值为1.
10.已知P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.
解析:(1)点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.
由题意有·=,可得a2=5b2,
c2=a2+b2=6b2,则e==.
(2)联立得
4x2-10cx+35b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
设=(x3,y3),=λ+,
即
又C为双曲线上一点,即x-5y=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,
化简得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
所以x-5y=5b2,x-5y=5b2.
由式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
得λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.
11.已知抛物线C:y2=x,过点A(x0,0)作直线l交抛物线于点P,Q(点P在第一象限).
(1)当点A是抛物线C的焦点,且弦长|PQ|=2时,求直线l的方程;
(2)设点Q关于x轴的对称点为M,直线PM交x轴于点B,且BPBQ.求证:点B的坐标是(-x0,0),并求点B到直线l的距离d的取值范围是.
解法:因为直线l:y-y1=(x-x1),
所以令y=0,则
x=x1-=x1-
=x1-y+y1y2=-x0,
B(-x0,0).
由题意知,MBQ为等腰直角三角形,
kPB=1,即=1,
y1-y2=1, (y1+y2)2-4y1y2=1,
即m2+4x0=1,
m2=1-4x0.
x0≥
∴ d的取值范围是.
12.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m,直线l与椭圆相交于A,B两个不同点.
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:直线MA,MB与x轴围成的三角形是等腰三角形.
解析:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由题意得
∴ 椭圆方程为+=1.
由题意可得直线l的方程为y=x+m(m≠0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则点A,B的坐标是方程组的两组解.
消去y得x2+2mx+2m2-4=0.
Δ=4m2-4(2m2-4)>0, -2
又 m≠0, 实数m的取值范围为(-2,0)(0,2).
(2)证明:由题意可设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可,
由(1)得x2+2mx+2m2-4=0,
x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
k1+k2=+
==0,
直线MA,MB与x轴围成的三角形是等腰三角形
评语时间 :2019-12-15 06:44:48