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椭圆及其标准方程教学反思

东方市八所中学  林启进

在椭圆及其标准方程的教学中，经常有以下几个问题教师没讲透，学生不重视，容易产生错误。

一、椭圆定义中b²＋c²＝a²，若a、b、c的大小不同，则轨迹也不同

1．若2a>|F₁F₂|，即a>c，则点的轨迹叫做 椭圆。

2．若2a<|F₁F₂|，即a<c .则这样的点的轨迹 不存在

3. 若2a＝|F₁F₂|，即a=c，则动点的轨迹是   线段 。

4.若 a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)，则表示 焦点在X轴上的 椭圆

5. 若 a2(x2)＋b2(y2)＝1(b>a>0)，则表示 焦点在y轴上的 椭圆

[说明]　此处学生极易出错。在椭圆的标准方程a2(x2)＋b2(y2)＝1和a2(y2)＋b2(x2)＝1中，一般规定a>b>0.如果给出具体的方程可由x²、y²的分母的大小确定焦点所在的坐标轴．x²的分母大时，焦点在x轴上，y²的分母大时，焦点在y轴上；反过来，如果焦点在x轴上，则x²的分母为a²，如果焦点在y轴上，则y²的分母为a².

6. .若 a2(x2)＋b2(y2)＝1(a=b>0)，则表示半径为a的  圆  

例题1.

已知F₁、F₂是两点，|F₁F₂|＝8，

（1）若动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝10，则点M的轨迹是____________．

（2）若动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝8，则点M的轨迹是__________。

（3）若动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝6，则点M的轨迹是__________。

[答案]　（1）以F₁、F₂为焦点的椭圆　（2）线段F₁F₂  （3）不存在。

二、由于椭圆方程计算量太大，多数学生既厌烦且容易出错。因此，

若椭圆过两定点且没有指明焦点位置，可设所求方程为m(x2)＋n(y2)＝1，(m>0，n>0)． 或设所求方程为Ax²＋By²＝1(A>0，B>0)．将点的坐标代入解方程组求得系数。

例题2. 求坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B 3(1).的椭圆的方程。

[解析]　(1)设所求椭圆的方程为m(x2)＋n(y2)＝1(m>0，n>0)，

∵椭圆过A(0,2)，B 3(1).

∴＝1(3)，解得n＝4(m＝1)，

即所求椭圆方程为x²＋4(y2)＝1.

三、形如Ax²＋By²＝C的方程，只要A、B、C同号，就是椭圆方程。

例题3

(1)如果方程x²＋ky²＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________。

(2)方程2m(x2)－m－1(y2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________．

[答案]　(1)0<k<1　(2)3(1)<m<1

[说明]　解决此类问题时应将方程化为椭圆的标准方程形式A(C)＋B(C)＝1.

三、关于焦点三角形问题

1.椭圆上一点P与两焦点F₁、F₂构成的三角形PF₁F₂我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用到椭圆定义，又能用到正、余弦定理。

例题4：如图所示，已知点P是椭圆5(y2)＋4(x2)＝1上的点，F₁和F₂是焦点，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面积．             

[解析]　由椭圆的定义，有

|PF₁|＋|PF₂|＝2a，而在△F₁PF₂中，由余弦定理有|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|·cosθ＝|F₁F₂|²＝4c²，

∴(|PF₁|＋|PF₂|)²－2|PF₁|·|PF₂|－2|PF₁|·|PF₂|cosθ＝4c²，

即4a²－4c²＝2|PF₁|·|PF₂|(1＋cosθ)

∴S△PF₁F₂＝2(1)|PF₁|·|PF₂|sinθ

＝b²·1＋cosθ(sinθ)＝b²tan2(θ).

上述解答过程中还运用了整体思想直接求出|PF₁|·|PF₂|，没有单独求|PF₁|、|PF₂|，以减少运算量。

2.焦点三角形的顶角问题

例题3中，∠F₁PF₂=30°即为顶角，对此类问题的研究可以得到一些很有意思的结论，在高三复习时应进一步探究。