发布者：柳重春 发布时间：2019-12-23 浏览数( 0) 【举报】
§12.5 因式分解
一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）
因式分解与整式乘法互为逆运算
二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。
△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；
如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)
(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)
三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。
1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。
△注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；
（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
△注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mn·a+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2·x·2y+(2y)2=( x+2 y)2
（2）注意公式运用时的对位“套用”；
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法：
1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。
如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)( x-1)
2、“十字相乘法”
如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4)
1 2 1 2
1 7 1 -4
2 + 7=9 2 + (-4)=-2
五、综合
1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。
2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。