2.2.1椭圆及其标准方程（第二课时）

一、教学目标

1．熟练掌握椭圆的两个标准方程；

2．能应用特定系数法求椭圆的标准方程.

二、教学重点

椭圆标准方程的两种形式

三、教学难点

两种椭圆标准方程的区分和应用

四、教学过程

Ⅰ.复习回顾：

师：上一节，我们学习了椭圆的定义并推导了椭圆的标准方程，下面作简要的回顾（略）.这一节，我们来继续熟悉椭圆定义及标准方程的应用.

二、.讲授新课：

例1、  已知B、C是两个定点，∣BC∣=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.

分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.

在右图中，由△ABC的周长等于16，∣BC∣=6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即

∣AB∣+∣AC∣=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）

解：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.

由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16，∣BC∣=6，有∣AB∣+∣AC∣=10，即点A的轨迹是椭圆，且

2c=6, 2a=16－6=10

∴c=3, a=5, b2=52－32=16

但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是

说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；

②例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.

例2、 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.

解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0），则

x=x0,  y=.

因为P（x0,y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4.            ①

将x0=x, y0=2y代入方程①，   得

x2+4y2=4    即 + y2=1

所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）

说明：①本题在求点M(x,y)的轨迹方程时，不是直接建立关于x,y之间关系的方程，而是先寻找x,y与中间变量x0,y0之间的关系，利用已知关于x0,y0之间关系的方程，得到关于x,y之间关系的方程.这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法.

②如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆.

③由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆.

例3、 已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程.

解：把已知椭圆方程变为

从而焦点F的坐标为（0，3）设点P坐标为（x,y），Q点的坐标为（x1,y1）,则  25x12+16y12=400            ①

由P分所成比为2，得∴x1=3x,  y1=3y－6   代入①得：

225x2+144y2－576y+176=0.

三、课堂练习：

　　1．椭圆 上一点 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（     ）

　　A．5          B．7          C．8            D．10

　　2．椭圆 的焦距是2，则 的值等于（       ）

　　A．5或3      B．5         C．8          D．16

　　3．焦点坐标为（0，－4）、（0，4）， 的椭圆的标准方程为_________________．

4．已知椭圆 ， 、 是它的焦点， 是过 的直线与椭圆交于 、 两点，则 的周长为__________________．

答案：1．B   2．A  3．   4．  

四、课堂小结

师：通过本节学习，要求大家进一步熟悉椭圆的定义与标准方程，并能熟练掌握它们的应用.

五、课后作业

P50习题2.2  B组 1，2