椭圆的简单几何性质

教学目标

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.

2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．[来源:学*科*网]

教学过程

一、展示目标

二、自主学习

1．椭圆的简单几何性质

2.离心率的作用

椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆．

三、合作探究

探究点一　椭圆的简单几何性质

思考1　椭圆是由哪些性质决定的？

思考2　观察椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

思考3　如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？

小结　椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形框里．

思考4　如何说明椭圆关于x轴，y轴，原点对称？

小结　1.椭圆关于x轴、y轴对称，同时关于原点对称．

2．椭圆与对称轴有四个交点(±a,0)，(0，±b)．这四个交点叫做椭圆的顶点．

思考5　观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？

小结　我们把椭圆的焦距与长轴长的比a(c)称为椭圆的离心率，用e表示，即e＝a(c).e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆越接近于圆．

思考6　(1)a(b)或b(c)的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？

(2)你能运用三角函数的知识解释，为什么e＝a(c)越大，椭圆越扁？e＝a(c)越小，椭圆越圆？

思考7　比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？

(1)4x²＋9y²＝36与25(x2)＋20(y2)＝1；(2)9x²＋4y²＝36与12(x2)＋16(y2)＝1.

四、精讲点拨

例1　求椭圆16x²＋25y²＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

解　把已知方程化成标准方程52(x2)＋42(y2)＝1，于是a＝5，b＝4，c＝＝3.

因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝a(c)＝5(3)，两个焦点坐标分别是(－3,0)和(3,0)，四个顶点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，(0，－4)和(0,4)．

反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．

跟踪训练1　已知椭圆方程为4x²＋9y²＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

探究点二　由椭圆的几何性质求方程

例2　椭圆过点(3,0)，离心率e＝3(6)，求椭圆的标准方程．

解　∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．

①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，

∵e＝a(c)＝3(6)，∴c＝3(6)a＝3(6)×3＝，∴b²＝a²－c²＝3²－()²＝9－6＝3，

∴椭圆的方程为9(x2)＋3(y2)＝1.

②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，

∵e＝a(c)＝3(6)，∴c＝3(6)a，∴b²＝a²－c²＝a²－3(2)a²＝3(1)a²，

∴a²＝3b²＝27，∴椭圆的方程为27(y2)＋9(x2)＝1.

综上可知，椭圆的标准方程是9(x2)＋3(y2)＝1或27(y2)＋9(x2)＝1.

反思与感悟　在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程确定a，b.

跟踪训练2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程．

(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为2(1)，焦距为8.

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.

探究点三　求椭圆的离心率

例3　如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF₁⊥x轴，PF₂∥AB，求此椭圆的离心率．

解　设椭圆的方程为a2(x2)＋b2(y2)＝1 (a>b>0)．

如题图所示，则有F₁(－c,0)，F₂(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，[来源:Z*xx*k.Com]

直线PF₁的方程为x＝－c，代入方程a2(x2)＋b2(y2)＝1，得y＝±a(b2)，∴Pa(b2).

又PF₂∥AB，∴△PF₁F₂∽△AOB.  ∴|F1F2|(|PF1|)＝|OB|(|AO|)，∴2ac(b2)＝a(b)，∴b＝2c.

∴b²＝4c²，∴a²－c²＝4c²，∴a2(c2)＝5(1).  e²＝5(1)，即e＝5(5)，所以椭圆的离心率为5(5).

反思与感悟　求椭圆离心率的方法：

①直接求出a和c，再求e＝a(c)，也可利用e＝a2(b2)求解．

②若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成a(c)的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．

跟踪训练3　如图所示，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的3(2)，求椭圆的离心率．

四、精讲点拨

1．椭圆25x²＋9y²＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　B　)

A．5、3、0.8  B．10、6、0.8  C．5、3、0.6  D．10、6、0.6

2．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　D　)

A．(±13,0)    B．(0，±10)    C．(0，±13)   D．(0，±)

3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　B　)

A.5(4)    B.5(3)    C.5(2)    D.5(1)

4．设F₁，F₂是椭圆E：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左，右焦点，P为直线x＝2(3a)上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为____4(3)____．

五、达标小结

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．

2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．[来源:学科网]

3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．

六、布置作业[来源:学科网ZXXK]

1．如图，已知P是椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－c(a2) (c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.

2．已知椭圆4x²＋y²＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．