2．2．1椭圆及其标准方程（第二课时）

教学目标：

1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；

2．学会用待定系数法求曲线的方程

教学重点：求椭圆的标准方程

教学难点：题目条件特征的把握 

教学过程：

一、复习引入： 

1 椭圆定义：

平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 

2. 椭圆标准方程：

（1）焦点在轴上：焦点是

（2）焦点在轴上：焦点是

 其中

求椭圆的标准方程时，要先判断焦点的位置（判断焦点在哪条轴上，只要看分母的大小。），确定出适合题意的椭圆标准方程形式，最后由条件确定出a和b 即可。若不能判断出焦点位置可设椭圆的方程为。

二、讲解范例：

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).

(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.

选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查关系掌握情况.

解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：

∵，2c=6.

∴

∴

∴所求椭圆的方程为：.

(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

.

∴

∴所求椭圆方程为： 

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).

(2)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.

选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.

解：(1)因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：

∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)

∴

故所求椭圆的标准方程为

（２）∵椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：

∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴＝１０.

又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，

∴－c－（－１０）＝２，故c=8.

∴.

∴所求椭圆的标准方程是.

说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为与的值.

(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近.

例3 已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程 

解：设椭圆的标准方程

则有  ，解得

所以，所求椭圆的标准方程为

例4  已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶 点A的轨迹方程

解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10

再根据椭圆定义得

所以顶点A的轨迹方程为 （≠0）（特别强调检验)

 因为A为△ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明≠0的条件

三、课堂练习：

1．设为定点，||=6，动点M满足，则动点M的轨迹是  （    ）

A.椭圆           B.直线            C.圆           D.线段

答案：D

2.椭圆的左右焦点为，一直线过交椭圆于A、B两点，则的周长为   （    ）

A.32             B.16              C.8             D.4

答案：B

3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.

分析：将方程整理，得，据题意 ，解之得0＜k＜1.

5.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.

分析：据题意，解之得0＜m＜

四、小结 ：椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程的方法  

五、课后作业：

课本49页习题2.2A1,2

六、板书设计（略）

七、课后反思