14.1勾股定理（直角三角形的三边关系）

东方第二中学  郭宏才

一、教材分析：

这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（华东版），八年级第十四章第一节“勾股定理”第一课时。勾股定理是几何中几个重要定理之一，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是对直角三角形性质的进一步学习和深入，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，在实际生活中用途很大。它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域中也被广泛地应用，而说明数学是一门基础学科，是人们生活的基本工具。

学生接受勾股定理的内容“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”这一事实从学习的角度不难，包括对它的应用也不成问题。但对勾股定理的论证，教材中介绍的面积证法即：依据图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变。学生接受起来有障碍（是第一次接触面积法），因此从面积的“分割”“补全”两种方法进行演示同时学生动手亲自拼接图形构成“赵爽弦图”并亲自验证三个正方形之间的面积关系得到勾股定理的证明。有利的让学生经历了“感知、猜想、验证、概括、证明”的认知过程，感触知识的产生、发展、形成以提高学生学习习惯和能力。

本节的后续学习中，对勾股定理运用的探究和勾股定理逆命题的论证和应用，都是将图形与数量紧密的结合，将有利的培养学生数形结合的意识以提高学生分析问题、解决问题的能力。同时也为后期学习四边形、圆中的有关计算及计算物体面积奠定基础，因此本节课无论从知识的角度还是从数学技能、数学思想方法及数学活动经验等层面都起着举足轻重的作用。为此，教学重点：勾股定理的内容 教学难点：勾股定理的论证

二、学情分析

1、八年级学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法 . 但是学生对用割补方法和面积计算证明几何命题的意识和能力存在障碍，对于如何将图形与数有机的结合起来还很陌生.

2.学生动手能力不强，会出现盲目操作。

3.相当一部分学生对关于求一个数的平方根方面的计算还不熟练。

三、教学目标

1、知识与技能：  理解并掌握勾股定理及其证明.

2、过程与方法 ：经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想.

3、情感态度与价值观：   通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，养成的合作交流意识和探索精神. 具备学好数学的信心。 

四、教学重点难点

 重点: 探索和证明勾股定理.

 难点: 用拼图方法证明勾股定理

【难点成因】

对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。

【突破措施】

⒈创设情景，激发思维：创设生动、启发性的问题情景，激发学生的问题冲突，让学生在感到“有趣”、“有意思”的状态下进入学习过程；

⒉自主探索，敢于猜想：充分让自己动手操作，大胆猜想数学问题的结论，老师是整个活动的组织者，更是一位参入者，学生之间相互交流、协作，从而形成生动的课堂环境；

⒊张扬个性，展示风采：实行“小组合作制”，各小组中自己推荐一人担任“发言人”，一人担任“书记员”，在讨论结束后，由小组的“发言人”汇报本小组的讨论结果，并可上台利用“多媒体视频展示台”展示本组的优秀作品，其他小组给予评价。这样既保证讨论的有效性，也调动了学生的学习积极性。

四、教法和学法:

教法和学法是体现在整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点：

以自主探究为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习的全过程。切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。

通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。

五、教学过程                                        

（一）创设情景

多媒体课件演示：东方市第二中学教师住宅小区有一块长方形草地，有些学生为了避开拐角走“捷径”。请算算他们仅仅少走了多少米路，却踩坏草地。

学生活动：学生读题思考，合作交流，将实际问题转化为数学问题

教师小结并导入新课：“已知一直角三角形的两边，求第三边？”的问题，那直角三角形的三边究竟存在什么样的关系呢？今天这节课我们就来研究这方面的知识。(板书课题)

设计意图与反思：问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，求第三边？”的问题。学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了。这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”。

（二）动手操作,合作探究

⒈课件出示课本P108图14.1.1：

问题1：（1）同学们，请你也来观察课本P108图14.1.1，看看能发现些什么？

（2）你能找出图中14.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？

（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?

学生活动：学生独立观察图形，分析思考其中隐藏的规律.

学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.

教师活动：教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

设计意图与反思：学生可能考虑到各种不同的思考方法，老师要给予肯定,并鼓励学生用语言进行描述，引导学生发现SP+SQ=SR（此时让小组“发言人”发言），从而让学生通过正方形的面积之间的关系发现：对于等腰直角三角形，其两直角边的平方和等于斜边的平方，即当∠C=90°，AC=BC时，则AC2+BC2=AB2。这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。

问题2：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？如图14.1-2，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是2、3的直角三角形.仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形.

（1）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？

（2）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？

（3）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？

学生活动：学生分组交流，展示求面积的不同方法， 学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：正方形P、Q的面积之和等于正方形R的面积.

教师活动：教师出示图表.

教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.

师生共同讨论、交流、逐步完善，得到猜想：

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c 那么a2+ b2=c2　　.

 设计意图与反思：学生可以同样求出正方形P和Q的面积，只是求正方形R的面积有一些困难，这时可让学生在预先准备的方格纸上画出图形，再剪一剪、拼一拼，通过小组合作、交流后，学生就能够发现：对于一般的以整数为边长的直角三角形也存在两直角边的平方和等于斜边的平方。通过学生的动手操作、合作交流，来获取知识，这样设计有利于突破难点，也让学生体会到观察、猜想、归纳的数学思想及学习过程，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

教师应重点关注：

学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益. 

问题3：当边长不为整数的直角三角形是否也存在a2+ b2=c2　这一结论呢？

投影例题：一个边长分别为1.5，3.6，3.9这种含有小数的直角三角形，让学生计算。师生小结：边长不为整数的直角三角形存在a2+ b2=c2

设计意图与反思：这样设计的目的是让学生体会到“从特殊到一般”的情形，这样归纳的结论更具有一般性。

（三）验证

问题4：（1）观察赵爽弦图，思考：如何利用此图的面积表示式验证命题猜想是真命题？

（2）仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将边长为a、b的两个连体正方形，拼成一个新的正方形？

（3）怎样根据拼图活动的结果证明勾股定理呢？

学生活动：学生观察图形可得：大正方形面积=四个全等直角三角形面积+中间小正方形面积. 再由代数恒等变形能得到a2　　+ b2　　＝ c2　　，即验证了猜想是真命题，学生在弦图验证的基础上，参照教科书110页图14.1—3开展拼图，以小组为单位，合作探究.

教师活动：教师展示图片，提出问题.

教师指导学生阅读教材110页，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明猜想是真命题的.

引导学生拼图的关键是：构造以a、b为直角边的直角三角形.结合纸片，即在线段MN上确定一点P，使分得的新线段与已有边长a、b构成需要的直角三角形.

鼓励学生代表作示范演示，展示分割、拼接的过程.再利用多媒体动画演示.

学生容易想到：未剪之前，图形面积是a2　　+ b2　　，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c ，面积为c2　　.从而得到直角三角形三边的关系：a2　　+b2　　＝ c2　　.再次验证猜想是真命题

设计意图与反思：先后三次验证“勾股定理”这一结论，期间学生动手进行了画图、剪图、拼图，还有测量、计算等活动，使学生从中体会到数形结合和从特殊到一般的数学思想，而且这一过程也有利于培养学生严谨、科学的学习态度。

在活动中有的学生会盲目动手，如沿正方形对角线分割等.我们要让学生自己思考、总结、更正，在不断的摸索中找到解决问题的正确方法.

教师应重点关注：

（1）学生能否进行合理的分割，对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；

（2）学生能否用语言准确地表达自己的观点.

（四）归纳

师生共同归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

数学语言表达：若直角三角形ABC中,∠ACB=90°,则：a²+b²=c²

设计意图与反思：通过动手操作、合作交流，探索边长为整数的等腰直角三角形到一般的直角三角形，再到边长为小数的直角三角形的两直角边与斜边的关系，让学生在整个学习过程中感受学数学的乐趣，，使学生学会“文字语言”与“数学语言”这两种表达方式，各小组“发言人”的积极表现，整堂课充分发挥学生的主体作用，真正获取知识，解决问题。

三、应用举例

例1、在直角三角形在，∠B=90°，AB=6,BC=8,求AC

学生活动：学生独立思考，分析，写出例题的计算过程，在小组交流。

教师活动：出示例题及时点拨，要求学生独立思考、分析后，写出证明过程。

设计意图与反思：应用勾股定理解决问题，发展分析问题和解决问题能力。

四、问题解决

东方市第二中学教师住宅小区有一块长方形草地，有些学生为了避开拐角走“捷径”。请算算他们仅仅少走了多少米路，却踩坏草地。

学生活动：学生独立思考，分析，写出例题的计算过程，在小组交流。

教师活动：出示例题及时点拨，要求学生独立思考、分析后，写出证明过程。

设计意图与反思：让学生解决开始上课前所提出的问题，前后呼应，让学生体会到成功的快乐。

五、巩固运用，形成能力。

问题5：完成以下练习题

教材111页第1题、

学生独立完成；教师巡视指导，板书得数，介绍勾股数。

【设计意图】第1题针对勾股定理的直接运用。提高学生对新知识的理解、运用。巩固目标。

六、归纳小结，反思提高

问题6：通过本节课的学习，你有哪些收获？

学生活动：小组成员从内容、数学思想方法、获取知识的途径进行小结，后由“发言人”汇报，小组间要互相比一比，看看哪一个小组表现最佳。

教师活动：教师用多媒体介绍“勾股定理史话”

①《周髀算径》：西周的商高（公元一千多年前）发现了“勾三股四弦五”这一规律。

②康熙数学专著《勾股图解》有五种求解直角三角形的方法，积求勾股法是其独创。

目的是对学生进行爱国主义教育，激励学生奋发向上。

设计意图与反思：教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，学生谈本节课的学习感受使学生对直角三角形有一个整体全面认识，同时感受数形结合的数学思想。教师对学生在课堂上的表现进行评价对学生进行思想教育。

七、布置作业

课本P117习题14.1中的第1.2.3题。目的一方面是巩固“勾股定理”，另一方面是让学生进一步体会定理与实际生活的联系。

八、目标检测设计

1．在等边三角形中边长为10，则该三角形的面积是多少？

【设计意图】综合题，考查等边三角形的三线合一、30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形面积知识；培养学生的转化意识。

2．在一个直角三角形中两边的长为3、4，则第三条边长度是多少？

【设计意图】分类讨论。考查直角三角形的斜边最长及勾股定理。

3、湖中直立一荷花，花朵高水1m整，忽然一阵风吹来，荷花吹离