22、等差数列

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列

第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、设计思想

1．教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法

引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标

通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。

五、教学重点与难点重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。

关键：

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程

教学

环节 情境设计和学习任务

上节课我们学习了数列。在日常生活

中，人口增长、教育贷款、存款利息

创设等等这些大家以后会接触得比较多的

情景 实际计算问题，都需要用到有关数列

的知识来解决。今天我们就先学习一

类特殊的数列。

由学生观察分析并得出答案：

在现实生活中，我们经常这样数

数，从0开始，每隔5数一次，可以

得到数列：0，5，___,___,___,___,„

2000年，在澳大利亚悉尼举行的

奥运会上，女子举重被正式列为比赛

项目。该项目共设置了7个级别。其

中较轻的4个级别体重组成数列（单

位：kg）：48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼

类有良好的生活环境，用定期放水清

理水库的杂鱼。如果一个水库的水位

探索为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，

研究 最低降至5m。那么从开始放水算起，

到可以进行清理工作的那天，水库每

天的水位组成数列（单位：m）：18，

15.5，13，10.5，8，5.5

我国现行储蓄制度规定银行支付

存款利息的方式为单利，即不把利息

加入本金计算下一期的利息。按照单

利计算本利和的公式是：本利和=本金

×（1+利率×寸期）.例如，按活期存

入10 000元钱，年利率是0.72%。那

么按照单利，5年内各年末的本利和分学生活动 倾听 观察分析，发表各自的意见设计意图课堂引入 引向课题

数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。

思考：同学们观察一下上面的这四个数列：

0，5，10，15，20，„„  ① 48，53，58，63  ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5  ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360  ④

看这些数列有什么共同特点呢？

发现规律 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的

总结差等于同一个常数，那么这个数列就提高 叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。 提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？ 观察分析并得出答案:

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5  ；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5  ；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5  ；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72  ；

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。 由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A

通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。

通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。

让学生参与到知识的形成过程中，获

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13„中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来，

a2a4a1a5,a4a6a3a7 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则  amanapaq

[等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列{an}的第n

项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。 总结

提高

所以就有 A

ab

2

深入探究，得到更一般化的结论 由学生经过分析写出通项公式： ①这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20

（=5+5+5+5）

，„„由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an5n ② 这个数列的第一项是48，第

2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得

到这个数列的通项公式是

an485(n1)

③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an182.5(n1)

④这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×

得数学学习的成就感。 引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。

学会发现规律，并加以总结。