三角形勃罗卡点到三顶点距离的几个不等式

发布者：袁新华     所属单位：都昌一中     发布时间：2016-03-15    浏览数：0

   三角形勃罗卡点到三顶点距离的几个不等式  

江西省都昌县第一中学（332600）  袁新华

    设P是内的一点，若，则称点P为的勃罗卡点，称为的勃罗卡角。关于三角形勃罗卡点的研究文献已有不少，本文给出它到三顶点距离的几个不等式。为行文方便，记的三内角分别为A，B，C，其对边分别是，其外接圆和内切圆半径分别为R和.

A

B

P

C

α

α

α

命题1  .

证明  如图,由正弦定理得：

               ，

    所以，

    同理可得：，，

    所以，

    由文[1]知，所以。

    命题2 。

    证明  因为

    由文[2]知

所以

    ＝1，

由柯西不等式得：

                            

所以。

由柯西不等式得:,

所以,

所以得到:

推论 。

命题3 

 证明  因为，

    所以，

    所以，

   由正弦定理得

    所以，由柯西不等式得：

，

    所以。

    命题4 。

    证明  由命题3的证明并利用柯西不等式得:

             

     所以。

     命题5 .

     证明  由命题1的证明并利用均值不等式得：:

         

          

          ,

          由文[3]知

          所以.

      以上命题，当且仅当为正三角形时等号成立。

　参考文献

　[1]. 苗太文. 关于勃罗卡点的两个命题[J]. 数学通讯. 1998,2.

  [2]. 吴嘉程. 三角形勃罗卡点和重心的形似貌合及妙用[J]. 中学数学月刊. 2008,6

  [3]. 李永利. 数学问题解答·1580号问题 [J]. 数学通报. 2005,11

 

 

作者简介：

袁新华，男，江西都昌人，江西省都昌县第一中学高级教师，九江市骨干教师，江西省骨干教师，主要进行初等数学研究与教学研究，已在《数学通讯》、《中学数学杂志》、《中学数学研究》、《中国数学教育》、《中学数学》等刊物发表论文二十余篇。

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