《函数的单调性》教学设计

九江外国语学校 汪涛

教材版本：北京师范大学出版社

学科：数学

册别:必修1

课题名称：函数的单调性

教材分析

1.教材的地位及作用

    函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念，函数贯穿整个高中数学课程。在历年的考题中常考，函数的思想也是我们学习数学中的重要思想。在这一节中利用函数图象研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。   

    函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性。而我们今天学习的内容就是函数基本性质中的一种——单调性。函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的。函数的单调性是学生初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识，是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、极限、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。

    通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题。通过上述活动，加深对函数本质的认识。更主要本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

2.教学内容简述

    本节课是函数单调性的第一节课，主要是通过生活中实例分析探讨出增减性的概念及单调性的定义。然后通过图像及实例剖析进一步加强概念的理解和思想方法的渗透，让学生明白证明单调性的常规步骤及图形对数学研究的重要性。通过一些简单习题强化证明过程，使学生学以致用。

3.教学目标

知识与技能目标：

（1）理解函数单调性的概念

（2）初步掌握利用函数图象和定义判断函数单调区间

（3）初步掌握简单函数单调性的证明

过程与方法目标：

（1）通过对单调性的学习、应用，培养学生观察、归纳、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

情感、态度、价值观目标：

（1）通过对生活实例的探究，让学生认识到数学与生活息息相关，

（2）让学生通过对图形的分析，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。

（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。

4.教学重点、难点

    根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标．重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。为此确定下本节课的重难点如下。

重点：

函数单调性的概念、判断及证明

难点：

根据定义证明函数的单调性

    利用多媒体让学生感受到生活中知识与数学知识的相通性，发挥学生团体协作能力总结出单调性的定义、归纳出证明单调性的一般步骤，老师从旁加以引导从而分化重难点，使学生更易理解和对其的运用。

5.学情分析

学生认知障碍点：学生很难通过对图形的分析得到的结论用干练的数学语言进行表述，对知识的灵活运用有一定的难度。

教学学法分析

1.教法：利用现代技术手段多媒体，结合生活中的情境探讨分析

2.学法：创设情境、合作交流

3.教学手段：多媒体教学，探讨研究

教学过程

（一）创设情境，提出问题：

一、课前准备

设计意图：让学生从生活中发现数学的一些规律从中激发学习的兴趣，让学生感受数学与生活息息相关。

（二）切入主题，引出课题：

1.学习探究

画出函数,  ,的图象（引导学生观察图像的变化趋势）

探讨分析图像的上升下升及上升下升引发的变化对的影响

2.观察它们的图象可以看到：

函数的图象由左至右是          的，在区间          上，的值随着的增大而            。

函数的图象在轴左侧是        的，在轴右侧是        的，在区间         

上，的值随着的增大而            ；在区间          上，的值随着的增大而            。

函数的图象在轴左侧是        的，在轴右侧是        的，在区间         

上，的值随着的增大而            ；在区间          上，的值随着的增大而            。

师生共同探讨：

3、定义：

问题1：增函数的定义是什么？

问题2：减函数的定义是什么？

问题3：单调性，单调区间及单调函数如何定义？

由此可知，在上面的函数中的单调     区间是         ，

的单调减区间是          ，单调增区间是         ， 

的单调    区间是         

设计意图：让学生自己探索事物的变化规律从而进行总结，老师从旁引导，发挥学生的主动性，充分体现新课标中以学生为主教师为辅的教学目的。

（三）探索研究，解决问题：

例1、下图是定义在区间上的函数,请根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性。

设计意图：本例主要是考察由图形来分析单调性，让学生进一步理解函数单调性，同时强调数形结合解决问题的思想方法。

例2、画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明。

设计意图：本例主要由学生完成作图，教师引导证明的过程。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。由师生共同探讨总结出证明的步骤使得解题过程得以程序化。

（四）新知应用，深化理解：

求证：函数在区间（0,1]上是减函数，在区间[1，＋）上是增函数

设计意图：本题主要是想强化定义法证明函数单调性的方法技巧。

（五）总结反思，整体提高：

学习小结

单调性定义

‚判断函数单调性的方法

ƒ定义法证明单调性的步骤及常用技巧

设计意图：让学生学会归纳所学知识，进一步突出本节课重点。

（六）布置作业，巩固四基：

1. 下列函数在区间上不是增函数的是（     ）

A.  B.     C.    D.

2. 若函数在为减函数，在上为增函数，则        

3. 如果函数在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数的取值范围是         

4.定义在上的函数对任意两个不等实数,总有成立，则必有

A．函数在上是增函数                  B．函数在上是减函数   

C．函数在上不是单调函数              D．以上均不正确  

5. 若y=kx+2在R上为增函数，则k的范围是         

6. 若函数在区间上为增函数，在区间上也为增函数，则函数在区间内是 （    ）

A．增函数   B. 减函数   C. 增函数或减函数  D. 无法确定单调性 

7．判断函数的单调性并加以证明。

设计意图：作业的布置是要突出本节课的重点——单调性概念的理解以及判断证明方法，让学生对新学的知识在课外进行延伸和巩固。

教学反思

通过本节课的学习结合教学目标，从知识、能力、情感三方面预测可能会出现以下情况：

学生能理解单调性的定义，并能运用其概念对函数单调性的判断及证明。由于学生层次不同，体验与认识有所不同.对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚的求学态度；对基础较差的学生，由于不善于表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找一些机会让其体验成功。