4.2一次函数与正比例函数

教学设计

一、    教学背景分析

1、教材分析：《一次函数与正比例函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四章 《一次函数》的第二节.本节内容安排了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.

与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的.

2、学情分析：

在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成等，培养学生良好的书写习惯.

  二、教学目标：

(1)理解一次函数和正比例函数的概念；

(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.

(3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；

(4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力.

(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.

(6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.

   三、教学重、难点：

   1、重点： 理解一次函数和正比例函数的概念.

   2、难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.

三、教学过程设计

本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业.

第一环节：复习引入

内容：复习上节课学习的函数,教师提出问题:

(1)什么是函数?

(2)函数有哪些表示方式?

(3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢?

意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识.

问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是在一个开放的环境中回答,学生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标.

若课堂气氛比较沉闷,也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题)

①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,则他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么?

②上网费用是2元/小时,则上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么?

第二环节：新课讲述

内容：

例1 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.

(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:

(2)你能写出x与y之间的关系式吗?

例2 某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.

(1)完成下表:

(2)你能写出x与y之间的关系式吗?

(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?

通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念:

一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成(为常数,≠0)的形式,则称是的一次函数(是自变量,为因变量).特别地,当时,则是的正比例函数.

意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.

第三环节：巩固练习

内容:

1.在函数(1),(2),(3),(4),

(5) (6)中是一次函数的是               ,是正比例函数的是                .

2.若函数是一次函数,则应满足的条件是            ；若是正比例函数,则应满足的条件是              .

3.当=           时,函数是关于的一次函数.

意图：对本节知识进行巩固练习.

第四环节：知识提高

内容：

例3 写出下列各题中与之间的关系式,并判断:是否为的一次函数?是否为正比例函数?

(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程(千米)与行驶时间(时)之间的关系；

(2)圆的面积(厘米²)与它的半径(厘米)之间的关系；

(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,个月后这棵树的高度为(厘米),则与的关系.

例4 某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.

(1)写出每月电话费(元)与通话次数(＞50)的函数关系式；

(2)求出月通话150次的电话费；

(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.

分析:解决此类问题首先要理解题意,然后找出相等关系.此题相等关系为:每月通话费=月租费+超过50次后电话费.

意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力.

充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.

第五环节：反馈练习

内容:

1.下列语句中,具有正比例函数关系的是(     )

  (A) 长方形花坛的面积不变,长与宽之间的关系；

  (B) 正方形的周长不变,边长与面积之间的关系；

  (C) 三角形的一条边不变,这条边上的高与面积之间的关系；

  (D) 圆的面积为,半径为,与之间的关系.

2．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于1600元的部分不收税；月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税……如果某人月收入1960元.他应缴纳个人工资、薪金所得税为（）×%=（元）.

（1）当月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴纳所得税（元）与月收入

（元）之间的关系式.

（2）某人月收入为1760元，他应该缴纳所得税多少元？

（3）如果某人本月缴所得税元，那么此人本月工资、薪金是多少以元？

意图：对本节知识进行巩固练习.

第六环节: 课堂小结

内容:

这节课我们学习了一类很有用的函数—— 一次函数，只要解析式可以表示成（为常数，≠0）的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当时的特殊情形.（方式：师生互相交流总结.）

目的：鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获和感想,进一步巩固本节课的知识.

第七环节：布置作业

课本82页第1、2、3、4题。