题目

二元一次方程的概念

学科

年级

九年级数学

教材内容

一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的根的概念、一元二次方程的根不唯一等。

教   学   设   计   与    反    思

课题

二元一次方程的概念

作者及工作单位

作者： 聂道华

单位： 江西省高安市黄沙中学

教         材        分       析

1．本节以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一。本节内容实在前面所学方程的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础。

2．这些概念是全章后继内容的基础。

学         情         分         析

1、授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。

2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的  优势，注重课堂教学的有效性。

3、本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性，在练习题的设计上要针对学生的差异采取分层设计的方法。

 教         学        目         标

  知识与技能:

1、理解一元二次方程的概念.

2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.

过程与方法：

引导学生分析实际问题中的数量关系，组织学生讨论，让学生类比、抽象出一元二次方程的概念 。

情感态度与价值观：

1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.

2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.

教  学  重  点  和  难  点

 重点：  一元二次方程的概念及一般形式

 难点： 1、由实际问题向数学问题的转化过程.

        2、正确识别一般式中的“项”及“系数”.

教     学     过     程

教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

引入新课

「活动2」启发探究 获得新知

「活动4」归纳小结 拓展提高

作业

「活动1」创设情境

问题1：某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番，要实现这一目标，2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率是多少？

通过幻灯片引入情境,提出问题：

问题2：在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向、一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的6块，建成小花坛，要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？  

第一种解法讲完之后，教师启发学生思考，是否还有其他解法？

通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程.

引导学生观察方程①、②，谁能说出这两个方程的特点？对比一元一次方程，是否知道它是什么方程？

概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程。

三个条件：整式方程+ 一个未知数+未知数的最高次数为2

任何一个一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的标准形式

介绍一次项、二次项、常数项、一次项系数、二次项系数。

特别强调：a≠0，要正确说出各项系数，必须化成标准形式

例1把方程

3x(x-1)＝2(x十2)—4

先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项

整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母等.

例2、当m取何值时，方程是关于x的一元二次方程？

归纳小结 拓展提高

1．问题：

本节课你又学会了哪些新知识

2．思维拓展：      

若方程x2m+n+xm-n +3=0是关于x的一元二次方程，求m,n的值。

作业课本P38  习题20.1  1、2两题

 设无公害蔬菜产量的年平均增长率为x，2005年的产量为a，翻一番的意思就是a变为2a,那么

（1）用代数式表示2006年的产量；

（2）2007年蔬菜的产量比2005年增加了2x，对吗？为什么？你能用代数式表示出来吗？

学生思考交流得出方程a(1+x)2=2a

整理得，x2+2x-1=0…………①

设小路的宽为x m，则横向小路的面积如何表示？纵向的呢？重叠部分的面积是多少？小路所占的面积用x的代数式如何表示？

这个问题的相等关系是什么？

32×20-（32x+2×20x-2x2）=570

整理得x2-36x+35=0

谁还能换一种思路考虑这个问题？

把6个小花坛拼起来是一个多长多宽的矩形，由此你会得出什么样的方程？

（32-2x）(20-x)=570

整理得x2-36x+35=0…………②

比较一下，哪种方法更巧妙？ 

学生回顾一元一次方程的有关概念，从而更好地掌握一元二次方程的概念。

提问：说出下列方程的一次项系数、二次项系数和常数项

x2+2x-1=0

x2-36x+35=0

学生练习

1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.）

（1）x2十3x十2＝O

（2）x2—3x十4＝0；

（3）3x2-5＝0

（4）4x2十3x—2＝0；

（5）3x2—5=0；     

（6）6x2—x=0。

讲解例1后学生练习

1、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

⑴  2（x2－1）= 3 x                ⑵  3（x－3）2=（x＋2）2＋7

2、判断下列关于x的方程是否是一元二次方程：

 (a、b、c为有理数); 

这两小题教师要作适当引导，鼓励学生分类讨论 

学生交流、讨论，谈谈自己的收获或感悟

此题有一定难度，引导学生分类讨论，培养学生思维的严密性，进一步体会数学的严谨性和逻辑性。

学生课后完成

通过创设情境,激发学生学习兴趣，鼓励学生用方程的思想解决问题。提高他们学数学用数学的意识。

鼓励学生开动脑筋，在解题上独辟蹊径，提高思维的灵活性。

通过得出的方程都是一元二次方程，与以前所学的方程不同，从而引入课题

复习一元一次方程的概念和一般形式,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫.

设计简单练习题以理解一元二次方程的概念。

 此题为一元二次方程概念中常见题型，通过此题让学生加深对定义和一般形式的理解，为其他字母系数问题做好准备。

通过此题让学生掌握解此类字母系数题目的方法，进一步掌握一元二次方程的概念，加深对本节重点的理解。

小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。

此题使本节知识得到了升华，有利于提高学生的解题能力，更加突出了重点。

板书设计（需要一直留在黑板上主板书）

概念：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程。

      2、三个条件：整式方程+ 一个未知数+未知数的最高次数为2

      3、任何一个一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的标准形式

      4、一次项、二次项、常数项、一次项系数、二次项系数。

      5、 例1把方程       3x(x-1)＝2(x十2)—41、

         6、 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

          ⑴    2（x2－1）= 3 x       ⑵  3（x－3）2=（x＋2）2＋7

教学分析与反思

  本节课是九年级数学第二章的第一节，主要介绍一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的概念，是典型的概念课。在教学过程中使用四环节循环教学法，让学生经历自学质疑——合作释疑——展示评价——巩固深化的过程。强调自主学习，注重合作交流，让学生与学生的合作交流在探究过程中进行，使他们在自主探索的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力。一元二次方程是学生学习了一元一次方程和二元一次方程组之后所接触的第三类方程，所以对于的它的概念，学生根据它的名称就能很容易知道。这里我通过两个实际问题，让学生经历了一元二次方程的产生过程，之后让学生来归纳出一元二次方程的三个特点①只有一个未知数；②未知数的最高次数是2次③方程两边都是整式。那么针对一元二次方程概念的理解，先由简单的练习再到稍难的问题，循序渐进，让学生在学习过程中有一个缓冲。

本节的第二个知识点就是一元二次方程的一般形式，学生在理解起来是比较容易的，但在练习中也会有不少学生会把二次项和一次项位置写反掉，或是在写系数时没有带上符号。

引导学生观察、类比、联想已学的一元一次方程、二元一次方程，归纳、总结出一元二次方程，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态之中，

合理选材，优化教学，在教学中，忠实于教材，要研究的基础上使用教材。教学方法合理化，不拘于形式，通过一系列的活动来展开教学，培养学生的思维能力，增强了学生思考的习惯，增强了学生运用数学知识解决实际问题的能力。

整节课的设计发落实双基为起点，培养学生独立思考的能力，重视知识和产生过程，关注人的发展。无论是教学环节设计，还是作业的布置上，我注意分层次教学，让每一个学生都得到不同的发展。

为了真正做到有效的合作学习，我在活动中大胆地让学生自主完成，先让学生把问题提出来，然后让学生带着问题去讨论，这样学生在讨论时就有目的，就会事半功倍。也让不同层次的学生得到不同的了展。也符合新课程的教学理念。

 通过这节课的点评与自我反思,以后要在师生交流方面都下工夫,重视学生的想法,多给学生一点"自主"学习的时间,同时加强板书教学,提高学生课堂学习的"实效"。