数学归纳法

教材分析

   1 本节课使用的教材是北师大版第一章《推理与证明》“数学归纳法”。

    2本节课内容安排在综合法、分析法与反证法的应用之后，是学生对推理与证明有了一定的了解的基础上学习的，对数学归纳法的概念及证明进行理性认识。同时也为培养学生的思维能力和逻辑推理能力起到奠基、铺垫作用。

教学目标

   知识与技能

1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学归纳法的原理。

2.能以递推思想为指导，理解用数学归纳法证明数学命题的两个步骤

(一) 提出问题，培育萌芽

问题1：一只口袋中有许多球，第一个取出的是白球，第二个、第三个取出了也是白球，你能肯定这只口袋的球都是白球吗？为什么？

[设计意图]让学生认识到第一次取出、第二次取出、第三次取出，以及后面的取出之间没有逻辑的、必然的联系．

问题2：等差数列通项公式的推导：

，

，

，

……

． (*)

你能确认(*)式成立吗？为什么？根据是什么？

[设计意图]让学生通过讨论认识和感受到由于，因此前一项结论成立必然有下一项结论成立，达到在认知上为学生形成数学归纳法奠基的目的．

问题3：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知 ，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．

(1)你能肯定这个结论成立吗？为什么？

[设计意图]问题2学生可能会觉得已经圆满解决，但问题3却能使学生真切、强烈地感受到证明和确认的必要，从而激发学生探究的欲望．但学生对问题3的理解会有两种情况：一是学生仅仅根据前4项的情况猜想出结果，这种猜想类似于前面摸球得到的猜想，有一定的道理但缺乏足够的依据；二是学生已经发现第1项与第2项、第2项与第3项、第3项与第4项之间内在的联系，即上一项结论成立必然导致下一项结论成立．这是两种不同的思维水平，教学时要引导学生从变化的角度、联系的角度思考问题，并根据学生的实际调整下面的教学．如果多数学生都已清楚第n项与第n+1项之间内在的联系，那下面的第(2)个小问题可以不要．

(2)如果对第5项，第6项，第7项继续验证，那情况会怎样？如果，那么是否有？

[设计意图]让学生切身感受到，由于正整数有无限多个，因此要证明关于全体正整数的命题，如果靠一个接一个验证下去，那永远无法完成．同时让学生在反复验证的过程中发现第n项与第n+1项之间内在的联系，为下面的归纳、抽象做好铺垫．

(3)你能证明这个猜想成立吗？你是否认为上面的验证过程可以无限地进行下去？如果可以，你能否用更一般的形式来表示？或者，更一般地，我们能否把这个无限的问题转化为有限的问题加以解决呢？

[设计意图]通过讨论，让学生明确以上持续不断的验证过程的实质就是P(1)真? P(2)真? P(3)真?P(4)真?P(5)真?…或者，更一般地，如果那么．也就是说，如果猜想当n=k时成立，那么n=k+1时也成立，即P(k)真? P(k+1)真，进而猜想对所有的正整数都成立．

(二)明确思想，提炼方法

问题4：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)

师生共同讨论，明确多米诺骨牌游戏规划：码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．

问题5：问题2、问题3、问题4有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么？

预设：通过学生讨论，达成以下共识：

(1)问题的特征：P(1)真? P(2)真? P(3)真? P(4)真? P(5)真?…

其实质是当k≥,时， P(k)真必有 P(k+1)真。

[说明]如果学生对上面递推过程的实质理解有偏差，则师生共同讨论，回顾以下事例(学生可能提出更多的事例)．

直线与平面垂直直线与平面内所有的直线都垂直直线与平面内任一条直线垂直；

是偶函数对定义域内的任意一个x，都有；

(2)结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．

(3)递推公式，保证了“结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立”．

[设计意图] 从学生已有的经验和认知结构中寻找新知识的固着点和生长点，在新旧知识之间建立非人为的、实质性的联系，以求有效的突破难点，并加深学生对数学归纳法原理形成过程与方法的理解．同时让学生认识到数学归纳法是“水到渠成、浑然天成的产物”(人教A版主编寄语)．

问题6：你认为前面得出的结论：，，以及所有的多米诺骨牌都会倒下等，是否都正确？如果是，你能否由此归纳、总结、提练出证明与自然数有关命题的方法与步骤？

预设：通过学生讨论，得出以下结论：

一般地，如果一个与自然数n有关的命题满足以下两个条件：

(1)当n取第一个值时命题成立；

(2)由n=k(k≥,)时命题成立，必有n=k+1时命题也成立．

由上，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．

问题7：上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？

在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．

问题8：在实际证明过程中，我们是否已经确认n=k时命题成立？

[设计意图]这里是学生理解数学归纳法的难点之一，需要教师提醒学生注意，并做出明确的、合理的解释．因为在证明结论之前，还不知道n=k时结论是否成立，因此只能是假设成立．同时为了使这个假设有一定的基础，因此这里要求k≥,．

由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)证明当n取第一个值()时命题成立；

(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

由上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．

这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．

(三)巩固应用，形成技能

例1 用数学归纳法证明

()．

[设计意图]考虑到本节课是数学归纳法的第一课时，因此在例题的选择与安排上不人为拔高，避免学生分散精力，影响重点、难点的掌握和落实．在解题的技能与方法方面，重在提醒学生进行解题反思，加强解题感悟，如搞清楚利用数学归纳法证明的前提是命题不仅是与正整数有关，而且命题k=n与k=n+1存在内在的递推关系，关键是如何合理地利用归纳假设，搞清楚，注意点是书写和表述规范．

(四)回顾总结，促进迁移

1．本节课学到了什么？

2．这些知识是怎样得出的？

3．你有什么体会与感悟？

(五)检测成效，反馈矫正

1．用数学归纳法证明：

(1)当n为正整数时，1+3+5+…+(2n-1)=n²；

(2)1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1．

2．已知数列…，计算S₁，S₂，S₃，由此推测计算S_n的公式，并给出证明．

五、教学设计特点分析

1．基于数学归纳法的源头与本质，基于学生的原有认知基础，有效地突破难点．

(1)任何思想方法都有产生的源头，都要经过萌芽期和明朗期．生物“重演律”告诉我们，生物的个体发育是其系统发育的简单而迅速的重演．人的思维发展、数学概念与思想也是如此．数学教学不应超越萌芽期，直接进入明朗期．否则，学生很难形成有血有肉、牢固深刻的数学思想．数学归纳法的源头在于如何证明由猜想得到的、具有内在规律性和递推关系的与正整数有关的命题，如何把等差数列通项公式等结论的推导严谨化，如何把模糊的、经验型的证明方法上升到理性的、普遍适用的数学方法。而数学归纳法的实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程“P(n₀)真? P(n₀+1)真? P(n₀+2)真?…”用具有高度代表性、概括性的“P(k)真? P(k+1)真”来代替．我们紧紧抓住这一实质，有效地突破学生理解和运用数学归纳法的难点．

(2)学生头脑中的数学归纳法的“生长点”和“固着点”在于数自然数，找一列数的规律，以及在归纳、分析、推理的基础上得到与正整数有关的结论，如等差数列的通项公式等．教学时注意挖掘学生头脑中相关的、原始的、朴素的、有用的东西，并使之明朗化、清晰化．为了帮助学生突破用有限来代替无限这一思维难点，教学设计时一方面让学生认识到所要解决问题的特征，另一方面从学生已有的用任意一条直线来代替平面内所有直线等经验中寻找启发．

2．强化数学归纳法思想的形成过程，使其既有灵魂又有血肉．

(1)十分注意用典型例子来支撑抽象的原理。为此注意用好三个例子：一是等差数列通项公式的推导；二是求满足条件，的数列通项公式的证明；三是多米诺骨牌游戏．具体表现在：一是突出这些例子的共同特征P(n₀)真? P(n₀+1)真? P(n₀+2)真?…；二是突出其抽象化、一般化、简单化的过程，即如何用P(k)真? P(k+1)真(k≥,)来代替无限的递推过程．

(2)增强学习的探究性。除重视数学归纳法原理的提练过程外，还把数学归纳法证明两个步骤缺一不可作为数学归纳法探究过程的一部分来处理，而不是作为原理应用注意事项的一部分．

(3)突破学生对归纳假设理解上的难点．阐明为什么是“假设”以及如何利用归纳假设，避免学生机械、盲目地套用数学归纳法．

(4)强化了运用数学归纳法必须同时具备两个条件：一是与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题；二是研究的问题中存在可利用的递推关系．

3．注意把握教师引导与学生自主探究的“度”．一方面，教师注意创设富有数学本质的情境、提出问题、提供学生探究的“脚手架”；另一方面，教师放手让学生通过探究、讨论，自主建构知识，如三个例子共同特征的概括、用一般化的递推来代替无穷的递推、完整数学归纳法原理的形成都是学生自己在教师的启发下完成的．整个教学做到“接受中有发现，发现中有接受”，力求做到课堂教学既“优质”又“高效”．