《数系的扩充与复数的引入》 教案设计方案

A、教学指导思想与理论依据

《数系的扩充与复数的引入》是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了实数以及实数有关的运算，知道方程没有实数解，但实际需要要求此方程的解，所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。

     本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。

B、教学背景分析

一、教材分析：

《数系的扩充与复数的引入》是北师大版选修2-2第五章第一节内容，课时安排约一课时。复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的。虚数单位、实部、虚部的命名，复数想等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数实质的理解，即复数实际上是一有序实数对。类比实数可以用数轴表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示，这就把数和形有机的结合了起来。另外复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，运用复数法可以解决函数最值、三角恒等式、组合问题、不等式问题、数列问题等。而复数在电力、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信号分析、反常积分等方面都有应用。

二、学情分析：

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，采用讲解已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位的引入难以理解。而复数的相等和复数的相关概念（比如实部、虚部、虚数、纯虚数等）我将采用类比实数，向量等方法来进行讲解，这样学生就不难掌握。

C、教学目标设计：

（一）课标要求

知识技能： 1． 了解数系发展原因，数集的扩展过程；

2．理解复数的有关概念以及符号表示；

过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法．

情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

（二）学习目标

 1．使学生了解数系发展原因，数集的扩展过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念；

2．让学生理解复数的有关概念以及符号表示；

3．使学生掌握明白复数相等的含义。

D、教学重点与难点

教学重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念   

教学难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成.

E、教学整体设计思路与教学策略与模式

本节课我采用数学史来吸引学生，让学生知道数系的扩充过程，从而为虚数单位的引入打下基础，在讲解例题后用数学故事的方式巩固教学效果。另外我还充分利用多媒体，提高教学效果，在设疑、提示、观察、类比、练习、交流等活动中启发学生，让学生动口、动脑，培养学生的思维能力。

本节课教法特点是采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。本节课核心在于自主探究数系的扩充的合理性和必要性，引入虚数单位，从而得出复数的定义，复数分类，复数相等，充分调动学生积极性，让他们真正参与到探究中来，因此，努力创建学生敢于猜想，善于思考，乐于探究的教学环境显得尤为重要。

F、教学环境

教学手段

多媒体辅助教学

教学方法

本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。

教学资源：

（1）以录音视频作为情境，既可以使学生了解数学的发展史，又能让学生全身心投入课堂，从而激发学生的学习热情。

（2）歌曲欣赏：复数欢迎你（仿歌曲《北京欢迎你》自编歌词）

G、教学过程

以问题为载体，以学生思考为主线

创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究

1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方程都有解了呢?写出几个在实数范围内没有解的方程，然后学生共同探讨这些无解方程可归为求解，从而引出课题。

【设计意图】以录音视频作为情境，既可以使学生了解数学的发展史，又能让学生全身心投入课堂，从而激发学生的学习热情。感悟知识的发生、发展过程。

知识建构一：虚数单位及规定

我们引入一个新数,叫做虚数单位,并规定:.

知识建构二：复数的有关概念

(1)复数的定义:形如的数,我们称之为复数.［由这一类方程的求解分析得出复数定义］

(2)复数的表示:复数通常用字母表示,即.［类比平面向量坐标表示］

这种表示方法称为复数的代数形式,其中称为复数的实部,称为复数的虚部.

变式  判断下列说法是否正确:

(1)复数πi的实部为0,虚部是π.

(2)复数2的实部是2,虚部为0.

(3)复数的实部是2,虚部是.

学生口答:略.

【设计意图】引导学生由所学知识解决问题，提高分析问题能力，激发其学习欲望。

图2

(3)复数的分类:［类比实数的分类］

 (4)复数集:全体复数所组成的集合叫做复数集,记作C.复数集与实数集之间的关系是,可用如图2所示的文氏图来表示.

【设计意图】学生敢于猜想，合作交流，体现知识的连贯性，系统性；数学类比思想的渗透

2.知识应用，变式探究：

例1  写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?

.

3.探幽入微，知识提炼：实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i是:

(1)实数       (2)虚数      (3)纯虚数

学生板演:略.

变式  (4)当实数取什么值时,=0?

提炼  两个复数相等,当且仅当它们的实部与虚部对应相等.

这也正是两个复数相等的定义,即

.

【设计意图】用0这个数进行启发引导，由特殊到一般，让学生自己探究出复数相等的充要条件。培养学生规纳能力，体会数学中蕴涵的规律性。

4．巩固训练，检测反馈：

例：已知(x+2)-2xi =-3y+(y-1)i,求实数x,y的值

然后再类比向量不能比较大小从而导出虚数不能比较大小

例：若不等式                       成立 求实数m的取值集合.

 【设计意图】学以致用能解决复数相等的变量求解问题和复数不等问题。

5.课堂小结：

【设计意图】通过课堂小结，深化对知识理解，建立知识结构和体系；培养学生学后反思的习惯和归纳总结能力

6.作业布置：作业：教材102页第1，2题

课后探究 走近大师

16世纪,意大利数学家卡尔丹提出了一个问题:“将10分成两部分,使两者的乘积等于40”,当时人们认为这是难以实现的.利用今天所学的知识,你能解决这个问题吗?请试一试.

【设计意图】与历史开始，与历史结束，前后呼映

歌曲欣赏：复数欢迎你（仿歌曲《北京欢迎你》自编歌词）

板书设计：

数系的扩充与复数的引入 一．虚数的引入： 二．复数的概念： 三． 复数的表示 四．复数的分类 五．复数相等

教师辅助区

学生演板区

H、学习效果评价设计

评价 方式	评价内容
	评价项目	评价等级
		A	B	C	D
自 评	对本节课知识的兴趣	浓厚	较浓厚	一般般	弱
	本节课独立思考的习惯	强	较强	中	弱
	自信心体验到学习成功的愉悦悦悦	多	较多	一般	少
	理解别人的思路,与同伴交流的意识	好	较好	一般	弱
	在知识、方法等方面获得收获的程度	高	较高	一般	低
同伴 互评	本节课发言的次数	多	较多	一般	少
	本节课发言的质量	好	较好	一般	差
	本节课课堂练习的正确性	高	较高	一般	低
师 评	上课听讲的专心程度	专注	较好	一般	有时分心
	参与教学活动的程度	高	较高	一般	低
	课堂发言反映出的思维深度	强	较强	一般	弱
	课堂发现问题的角度	多	较多	一般	少
	课堂发现问题的能力	强	较强	一般	弱
评价 说明	在评价等级下，相应的栏只选一项，打“”

 

G、教学总结与反思

本节课核心在于自主探究数系的扩充的合理性和必要性，引入虚数单位，从而得出复数的定义，复数分类，复数相等地，充分调动学生积极性，让他们真正参与到探究中来，因此，努力创建学生敢于猜想，善于思考，乐于探究的教学环境显得尤为重要。

专家点评

沈利平（都昌县教研室副主任，数学教研员）

   本节课以录音视频作为情境，令人耳目一新，既可以使学生了解数学的发展史，又能让学生全身心投入课堂，从而教好的激发了学生的学习热情。课堂气氛热烈，双边活动活跃，学生求知欲强。采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，充分调动学生积极性，让他们真正参与到探究中来，达到了教好的教学效果。

                         

郑华明（都昌一中数学教研组长）

本节课核心在于自主探究数系的扩充的合理性和必要性，引入虚数单位，从而得出复数的定义，复数分类，复数相等，充分调动学生积极性，让他们真正参与到探究中来。教师在教学中灵活运用了多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发了学生的学习兴趣。