1.2.3  空间几何体的直观图

龚国华

一、说教材（地位与作用） 

空间几何体是高一人教版数学必修2的主要内容，在本堂课之前，学生们已经学习了空间几何体的三视图，这为过渡到本课题的学习起到了铺垫的作用。本课题的理论、知识又是学好以后课题的基础，因此，它在整个教材中起着承上启下的作用。

 二、说教学目标 

新课标指出教学目标应包括知识目标、能力目标和情感目标这三个方面，而这三维目标又应该是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习、形成正确价值观的过程。结合对教材地位和作用的分析，我制定了以下的教学目标： 

1.知识目标 

（1）了解空间图形的表现形式，掌握空间图形在平面的表示方法. 

（2）会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间几何体的直观图 

（3）通过空间几何体的三视图会画空间几何体的直观图。 

2.能力目标 

会画简单空间几何体以及空间几何组合体的直观图 

3.情感目标 

通过引导学生认识空间几何体，使学生能够画出空间图形，培养学生的空间直观能力，并应用于生活实际。 

三、说教学的重难点 

    在今后的空间几何体的学习中，我们会用到空间几何体的直观图，所以，我确定了以下教学重点和难点： 1.用斜二测画法画直观图. 2.空间几何体的直观图画法. 

为了讲清教材的重难点，使学生能够达到本课题设定的教学目标，我再从教法上谈谈。

 四、说教法。 

高一年级学生年纪小，具有模仿力强，记忆力好，表现欲强等特点.根据学生第一章节已接触的空间几何体直观图和空间几何体三视图的知识，将学生引入到如何绘出这些空间的几何体.非常符合学生的好奇心，能激发他们的求知欲，使他们易学、乐学. 

 我主要采取诱导式教学方法、视听法、直观教学法，让学生积极主动地参与到教学活动中来，使他们在活动中得到认识和体验，产生践行的愿望。当然老师自身也是非常重要的教学资源。教师本人应该通过课堂教学感染和激励学生，调动起学生参与活动的积极性，激发学生对解决实际问题的渴望，并且要培养学生以理论联系实际的能力，从而达到最佳的教学效果。 

五、说学法 

    我们常说：“现代的文盲不是不懂字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而，我在教学过程中特别重视学法的指导。让学生从机械的“学答”向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为学习的真正的主人。这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳法、自主探究法、总结反思法等等。下面我具体来谈谈这一堂课的教学过程。 六、说教学过程 

    在这节课的教学过程中，我注重突出重点，条理清晰，紧凑合理，各项活动的安排也注重互动、交流，最大限度的调动学生参与课堂的积极性、主动性。 

1.  导入新课：（2~3分钟） 

      由上节课演示过的知识和教材开头的情景设置导入新课。 (1) 引导观察已接触过的空间几何体（柱、锥、台、球）的直观图. (2) 空间某一点看水平放置的课本. 我的设计思想是：利用观测得到的图形差异将学生引入到空间几何体直观图画法，从而有效的激发学习的兴趣，通过交流活跃课堂气氛 2.  讲授新课：（35分钟） 

在讲授新课的过程中，我突出教材的重点，明了地分析教材的难点。我采用了以下几个步骤： 

(1)向学生示范用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，并教会学生用斜二测画水平图的方法。让学生自己动手用斜二测法画正五边形、圆的直观图。然后进行讲评练习，为学生的不足补充，同时可以让学生认识当坐标系选择不同时作图的差异。

PART2 教案

教学目标

    通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法.

重点难点

教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.

教学难点：直观图和三视图的互化.

教学过程

导入新课

思路2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图.

新知探究

提出问题

    ①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？

    ②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.

    ③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.

    ④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的直观图的步骤.

讨论结果：①画法：1°如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.

    2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.

    3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.

图1

②步骤是：1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.

2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.

3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

③画法：1°画轴.如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.

图2

2°画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

3°画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.

4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.

    ④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是：

    1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠yOz=90°.

    2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.

    3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.

    4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

    5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.

    斜二测画法的作图技巧:

    1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等.

    2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.

    3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.

应用示例

思路1

例1  用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.

活动：学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流.教师适当点评.

解：（1）如图3(1)，在⊙O上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在的直线为x轴与y轴，将线段AB n等分.过各分点分别作y轴的平行线，交⊙O于E，F，G，H，…，画对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°.

图3

(2)如图3(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B′=AB，在y′轴上取C′D′=CD，将A′B′ n等分，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′=,G′H′=，….

（3）用光滑曲线顺次连接A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆的水平放置的直观图〔图3(3)〕.

点评：本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.

变式训练

1.画水平放置的等边三角形的直观图.

答案：略.

2.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（    ）

A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的

C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°

D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

分析：在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C不正确.

答案：C

例2  如图4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

图4

（1）画轴.如图5（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

               

(1)                          (2)

图5

（2）画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面⊙O.在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′（与画⊙O一样）.

（3）画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度.

（4）成图.连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕.

点评： 空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.

变式训练

    图6所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？

图6

答案：奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的简单组合体.其直观图略.

知能训练

1.利用斜二测画法画直观图时：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形.

以上结论中，正确的是___________.

分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错.

答案：①②

2.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（    ）

A.             B.          C.             D.都不对

分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高为，于是其面积为×2×=.

答案：A

3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（    ）

A.         B.          C.         D.

分析：平面图形是上底长为1，下底长为，高为2的直角梯形.计算得面积为.

答案：D

4.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点是M′,则点M′的找法是___________.

分析：在x′轴的正方向上取点M₁，使O′M₁=4，在y′轴上取点M₂，使O′M₂=2，过M₁和M₂分别作平行于y′轴和x′轴的直线的交点就是M′.

答案：在x′O′y′中，过点（4，0）和y′轴平行的直线与过（0，2）和x′轴平行的直线的交点即是.

5.根据图14所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状.

图14

分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔.从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔.

解：由此可以推测该物体大致形状如图15所示.

图15

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课堂小结

本节课学习了：

1.直观图的概念.

2.直观图的画法.

3.直观图和三视图的关系.

4.规律总结：

（1）三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样，侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样.正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图，俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等.正视图又称为主视图，侧视图又称为左视图.

(2)画三视图时，要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则.若相邻两个几何体的表面相交，表面的交线是它们原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出.

(3)用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法.

(4)如果同一个空间图形摆放的位置不同，那么画出的三视图会有所不同，画出的直观图也是会有所不同.

作业

    习题1.2  A组  第5、6题.