二次根式的概念.

 

2．内容解析

 

本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.

 

教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.

 

本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；

 

二、目标和目标解析

 

1.教学目标

 

（1）体会研究二次根式是实际的需要．

 

（2）了解二次根式的概念．

 

2. 教学目标解析

 

（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．

 

（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．

 

三、教学问题诊断分析

 

对于二次根式的定义，应侧重让学生理解 “的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.

 

本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.

 

四、教学过程设计

 

1．创设情境，提出问题

 

问题1你能用带有根号的的式子填空吗？

 

（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．

 

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．

 

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t=  _____．

 

师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.

 

【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．

 

问题2  上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

 

师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．

 

【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．

 

2．抽象概括，形成概念

 

问题3  你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？

 

师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

 

【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．

 

追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？

 

师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．

 

【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．

 

3．辨析概念，应用巩固

 

例1  当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？

 

师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．

 

例2  当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？

 

师生活动:先让学生独立思考，再追问．

 

【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．

 

问题4　你能比较与0的大小吗？

 

师生活动：通过分 和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，

 

【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.

 

4．综合运用，巩固提高

 

练习1  完成教科书第3页的练习.

 

练习2　当x 是什么实数时，下列各式有意义.

 

（1）；（2）；（3）；（4）.

 

【设计意图】 辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.

 

【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.

 

5．总结反思

 

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.

 

（1）本节课你学到了哪一类新的式子？

 

（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

 

（3）二次根式与算术平方根有什么关系？

 

师生活动：教师引导，学生小结.

 

【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.

 

 6．布置作业：

 

教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题．

 

五、目标检测设计

 

1. 下列各式中，一定是二次根式的是（　）

 

A.            B.             C.          D.

 

【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．

 

2. 当    时，二次根式无意义．

 

【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．

 

3.当    时，二次根式有最小值，其最小值是     ．

 

【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．

 

4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．

 

【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．