网络环境中的数学新课程课堂教学课题案例研究
发布者：安君妮 所属单位：安远县镇岗初级中学 发布时间：2016-02-23 浏览数：0
网络环境中的数学新课程课堂教学课题案例研究
———《圆》网络交流资料（学法指导）
我们学校全体数学老师，接到承担本学期第一次网络研修备课的任务。寒假期间，我们学校高度重视，专门为此事召开了协调会，将任务和要求进行了明确，便责任到人。非常荣幸地能有这个机会和各位专家、老师在这里就九年级数学下册第三章《圆》教学方面的有关问题进行交流．
我们九年级数学教研组从接受了这个任务后，所有的老师都非常的重视，在寒假期间多次就本章的教学工作展开了讨论和学习．
首先，我们交流课程标准对本章的说明，本章的教育价值、教学目标和设计思路．
本章是在学习了直线型图形的有关性质和证明的基础上，来探讨一种特殊的曲线型图形——圆的有关性质 。例如，用折叠，旋转的方法探索圆的对称性；用轴对称变换的方法探索垂径定理及其逆定理，然后用推理证明的方法进行证明；用旋转变换的方法探索圆心角，弧，弦心角间相等的关系定理，然后进行证明，用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，用对称变换及反证法研究切线性质；用图形运动的方法研究直线与圆，圆与圆的关系等等。”《圆》是现实世界中常见的图形，是初中几何的最后一章，从整个初中几何的学习来看，它属于“提高阶段”，在知识方面，不仅需要学好本章的知识，而且还需要能综合运用前面学习的知识；在数学能力方面，不仅要掌握以前学的折叠，平移，旋转，推理论证等方法，还要具备运用这些方法和知识来继续研究圆的有关性质，并且解决一些实际问题。另外，圆的许多性质，在理论上和时间中都有光法的应用。所以，圆这章在初中几何中占有非常重要的地位。
一、课程标准
1掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系，对这些内容不仅是知道结论，更要注重他们的推导过程和运用；
2．连接点与圆，直线与圆，圆圆之间的位置关系
3了解切线的概念，切线的限制和判定，会过圆上一点画圆的切线。
二、教育价值
通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论，归纳等方面都有所发展。通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的确定性；让学生经历观察，猜想，证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理的，清晰地阐述自己的观点。另外，让学生积极参与数学活动，激发他们学习数学的兴趣，发展社会责任感，培养克服困难的勇气和信心。
三、教学目标
1．通过探索圆及相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；
2．用折叠，旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角，弧，弦之间关系的定理，发展学生的动手能力；
3．用推理论证的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力；
4．让学生自己总结交流所学的内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力；
5．通过平移，旋转等方式，认识直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力；
6．通过探索弧长，扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力；通过化圆的切线训练学生的作土能力；
7．通过本章内容的学习，归纳总结，学历学生各方面的能力。
四．本章设计的概念和定理结论
〖圆的定义〗
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
〖有关圆的基本性质与定理〗
圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
有关圆周角和圆心角的性质和定理〗
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
〖有关切线的性质和定理〗 圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过圆心垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=
； 3.扇形弧长
；4.扇形面积S=
= 
； 5.圆锥侧面积S=πrl
二、具体内容分析及教学建议
§3。1 车轮为什么做成圆形
主要是让学生通过观察实例归纳出圆的定义，虽然小学阶段学生已经对圆的有关性质有所了解，小学学习圆只是一种感性认识，知道一个图形是圆 ，但是没有抽象出“平面上到顶点的距离等于定长的所有的点组成的图形是圆”的概念。这一节主要是使学生 通过观察实例体会圆的概念的形成过程，从而归纳出点和圆的三中位置关系。这一节的重点就是点和圆的三种位置关系。而难点就是集合观点研究圆的概念。
教学建议：
1．通过实际情境，让学生观察、归纳圆的定义的过程。
2．会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系。
3．通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣。
§3。2圆的对称性
圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形，又是轴对称图形。学生已经通过前面的学习，能够用折叠的方法圆是一个轴对称图形。其对称轴是任意一条直径所在的直线。同时结合图形让学生认识一些与圆有关的概念。在这一节，重点就是垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理。而难点就是是垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解及定理的证明。
教学建议：
1．让学生经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
2．培养学生独立探索象话合作交流的精神。通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学谈度和积极参与的主动精神。
3．通过观察，比较，操作，推理，归纳等活动，发展学生的空间观念，推理能力和概括问题的能力，利用圆的旋转不变性，研究圆心角，弧，弦之间的相等关系定理。
§3。3圆周角和圆心角的关系
在这一节，通过创设问题情境，引入圆周角概念，使学生通过画图认清圆周角的两个本质特征。由在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，从而引发出在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角能否相等，转化成研究同圆或者等圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系。在学生掌握圆周角的定义和圆周角定理的基础上，进一步学习圆周角定理的两个推论，通过本节课的学习，要让学生能够熟练地应用两个推论证明一些问题。
本节课的重点是圆周角的定理及其两个推论与应用，难点就是分三种情况证明圆周角定理以及理解两个推论的“题设”和“结论”，教学中要注意引导和分析，通过学生画图与归纳，采取由特殊到一般的方法，通过转化化解这一难点。
教学中通过定理的证明向学生渗透分类讨论的思想，由特殊到一般的解决问题的策略，注意探索问题方法的应用，通过学生动手时间，自主探索，合作交流顺利地完成本课教学。
教学建议：
1．让学生经历探索圆周角与圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
2．师生通过观察，猜想，验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法。在学生自主探索推论的过程中，经历观察，猜想，验证推理等环节，获得正确的学习方法。
3．在教学中要注意培养学生的探索精神和解决问题的能力。
§3。4确定圆的条件
这一节的教学内容是确定圆的条件，即通过探索经过一个点，两个点，三个点分别能否作出圆，能作出几个圆的问题，归纳总结出不在同一条直线上的三点作圆的问题，得出重要结论“不在同一直线上的三点确定一个圆”，从而培养学生的探索精神，同时可以使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想。在教学中，教师应该知道学生自己去探索，与做直线类比，引出确定圆的条件问题，由易到难让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件，通过学生自己的亲身体验，再加上同学间的合作和交流，最后师生共同归纳直接便可以轻松愉快地完成教学任务。
教学建议：
1师生经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的策略。
2在教学中要力争让学生形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展时间能力和创新意识。
3让学生学会与他人合作，并能与他人交流思想的过程和结果。
§3。5直线和圆的位置关系
这部分内容包括直线与圆的三种位置关系，探索圆的切线性质，探索圆的切线的判定方法，以及作三角形内切圆的方法。首先让学生感受生活中反映直线与圆的位置关系的现象，然后让学生动手操作，在这一过程中引导学生归纳出直线和圆的几种位置关系，进一步归纳出直线和圆的不同位置关系中的d与r 的大小关系，然后对d=r的情形特别关注。这就是圆和直线想切关系，从而讨论得出切线的性质。再通过旋转实验的办法探索切线的判定条件，在此基础上能作出三角形的内切圆，并且掌握三角形内心定义。在教学中主要由学生探索归纳，当遇到困难时教师给予适当知道，这样可以充分发挥学生的主观能动性，还能增进同学们的友谊，培养他们的合作能力。
教学建议：
1让学生经历探索直线和圆的位置关系的过程，培养学生的探索能力。通过观察得出“圆心到直线的距离d 和半径r 的数量关系”“与直线和圆的位置关系”的对应和等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化。
2通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立信心。可以运用教师指导学生探索法教学。
§3。6圆和圆的位置关系
本节课的主要内容是圆和圆的位置关系，其中包括利用平移实验只管地探索圆和圆之间的几种位置关系．通过讨论两个圆圆心之间的距离d与两圆半径R,r之间的关系来确定两圆位置关系。重点和难点是通过学生动手操作和互相交流探索出圆和圆的几种位置关系。在教学中教师不要只强调结论，要关注学生动手操作过程，关注他们互相交流的过程，看学生是否能够积极投入到数学活动中去。在他们困难的时候要适当给予帮助，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣，只要学生有了学习兴趣就成功了一半。他们就敢于棉队数学活动中的困难，并且有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验。
同学习本界课，要使学生具备一定的识图能力。体会数学活动充满着探索性质和创造性，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益。
教学建议：
1通过探索圆与圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与穿早，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性 。经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间以及图形的认识，发展形象思维。
2节重点 和难点内容就是是探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切，内切与两圆圆心距d , 半径R和r的数量关系的联系。可以采取教师讲解与学生合作交流探索的方法教学。
§3。7弧长及扇形面积
本节是在学习了圆的有关性质后利用圆的性质探索推导弧长及扇形的面积，并且能够运用得出的结论进行有关计算，实质上是圆的有关性质的运用，本节的重点和难点是学生自己能够推导并且掌握弧长及扇形面积，并且能够用公式解决实际问题。在教学中，教师不要急于给出学生公式，而要引导学生自己根据已经有的知识推导公式，如果学生有困难，可以采取小组合作的形式解决，这样既能使学生有成就感，又能朋友他们的探索能力，还能使所学知识掌握得更加牢固。那样运用公式解决实际问题就比较容易了。
教学建议：
1师生经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力，能用相关公式解决问题，训练学生的数学运用能力。
2通过探索弧长计算公式及扇形面积计算公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。
§3。8圆锥的侧面积
这节课的内容是圆锥的侧面积，首先让学生通过观察圆锥，认识到它的表面是一个曲面和一个圆面围成的，然后再思考圆锥的曲面展开图在平面上是什么样的图形，最后经过学生自己动手时间得出结论，圆锥的侧面展开图是一个扇形，把圆锥的母线，底面半径和展开图中的半径之间的关系找出来，根据上节课的扇形面积公式就可以求出圆锥的侧面积，进一步运用公式进行有关计算。让学生先观察圆锥，再想象圆锥的侧面展开图，最后经过学生自己动手时间的出结论哭这一系列活动，可以朋友学生的空间想象能力，动手操作能力，归纳直接能力，使他们的手，脑，口并用，帮助他们有意识地积累活动经验，使他们获得成功的体验。对于学生的观察，操作，推理，归纳等活动，教师要进行鼓励性的评价，使他们能提高学习数学的信心和决心。
教学建议：
1师生经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力；能够用公式进行计算，训练学生的数学应用能力，
2让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察，想象实践能力，同时训练他们语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验。同运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际。采用的方法可以是：观察—想象——实践——总结法。
三、教材的立意
1.适当增加了新课标解读中的认识：垂经定理、三角形与圆的关系、切线长与切线长定理等.解决了“圆化方”的问题，可以形成可解图形的问题.
2.填空形式反映了擦边球:如垂经定理等,我们要用好这类问题.
3.关注过程性,自观察问题始至说理终结的全过程.
4.强化了说理,现象是解题距加长,但是仍以可以完全实现说理为特征,即以解决计算性问题为主.
5.关注生活实际以及其他学科与本章知识的结合,体现了圆的知识的工具性作用,实际上增加了问题探索以及问题分析、建立数学模型的过程，这是导向性的展示.
四．学习与教学要求
基本要求：
1.要经历相应的探索过程,如圆的概念、对称性、垂经定理、圆周角以及点、直线、圆与圆的位置关系的研究.
2.会识别弦、弧、圆心角、圆周角；会用关于角的知识解决基本问题.
3.会用对称性以及垂经定理解决与之相适应的问题.
4.会识别切线及切线长的图形，会画过圆上一点的切线.
5.会找三角形的内心与外心,会利用它们的性质.会求三角形的内切圆的半径(主要是指直角三角形).
6.会计算弧长、扇形面积，会求圆锥的侧面积与全面积.
7.会简单的说理与表述.
略高要求：
1.利用经历过程的体验会探索与之相近似的问题.
2.能合理运用所学的圆周角的知识解决一些与角有关的问题.
3.能根据问题的需要会合理添加垂经或切线,沟通已知与未知的关系,形成可解图形,达到解决问题的目的.
4.能根据实际问题合理使用三角形的内心与外心的知识解决问题.
5.能根据问题利用半径把问题化为直角三角形问题.
6.能利用弧长或扇形面积等关系解决相应的问题.
7.能利用两圆关系解决实际问题.
较高要求：
1.能利用垂经定理、圆周角等知识解决相应的实际问题.
2.能探索与切线等知识有关的综合性实际问题.
3.能综合运用几何知识解决与圆有关的生活实际问题或数学学习中的实际问题.
四、教学建议
(一) 要解决的问题：
1. 不给出严格定义的概念怎样处理?
2. 圆的性质及本单元中的其他性质的区别是什么?
3.需要不需要揭示与圆有关的图形间的对应关系?
4.为什么要从圆心角、弧、弦等三者关系的角度入手研究？
5.垂经定理怎么认定,逆定理怎么办?
6.圆周角定义怎么确定?它与谁形成对应关系?圆周角与弦的对应关系怎样研究?
7.圆内接四边形问题怎样处理?
(二)技能与能力要求
1.圆的基本元素
(1)圆的定义
由扇形统计图的应用给出,从中给出扇形统计图的画法,在这个过程中涉及两个问题： 其一 圆的图形：用圆规画圆，圆规的特点，可以规定一个定点；可以规定一个不变的长度，实际上解释了圆的定义；
其二 圆的图形特征：圆心与一个封闭的图形.
(2)弦、弧、圆心角
其二、存在对应关系（这是认识圆的知识的基点）
两点或一条弦所形成的弧是两条，即一条弦对应两条弧，两个圆心角；
同时，也就形成两弧之间存在大小关系，进而形成等弧，所以，必须强调“等弧”等知识.
2.圆的对称性
1）旋转对称图形
这是华东师大版教材中给出的名称，原名称是圆的旋转不变性，这是圆的本身属性.体会旋转对称的作用,由扇形AOB绕O点旋转到AOB的位置,可以得到三者之间的关系.
而这三者之间的关系极其重要,它实际上解决了等弧的概念
(2)轴对称图形
用一个圆连续对折,借助轴对称的知识而形成圆的二、四、八等份。这是可以利用旋转的知识解释“弧相等”的现象.
再利用由特殊到一般得出垂经定理的结论.
这个结论的解释可以从两个角度说明：
其一，利用轴对称的知识，即连续对折重合；
其二，利用旋转对称的知识解释.
到此就可以明白先讲旋转对称性的道理了. 垂经定理的逆定理实际上是用垂直关系,转化为等腰三角形问题.
(3)圆周角
圆周角的定义可由P108的图3-13中的∠ABC强调角的构成,由“顶点以及两边组成”，可抽象出确切的定义. 由特殊情况再推广到一般情况,即先由直径上所对的圆周角是直角及其逆定理引申出一般情况. 这时一般情况的讨论是本节课的重点,如何考虑三种情况呢?
可以从圆周角 ∠ABC , AC不动,让AB移动,形成三种状态,从中要揭示,由于圆的图形的特殊性,即圆心角位置不变,故一个图形与圆的位置关系就要考虑这个图形与圆心的位置关系------研究圆的问题的基本方法.
在这节课中要沟通前一节课的内容.
“一条弦对应几条弧?”那么一条弦对应的圆周角是几个实际上要说明对一条弧而言有“所对”与“所含”圆周角的区别.这个问题解决了,可推出圆内接四边形的知识,在这里无需扩展,只要揭示规律. 要提示的是不要把圆的角与对应的弧的度数关系揭示出来,只要说明圆心角与圆周角的关系即可.
①.已知AB是直径,∠C等于15度,求∠BAD的度数.
②.已知∠OAB等于40度,求∠C的度数.
③．已知在圆中,AD⊥BC于点D,AE 是直径,请说明图形中的线段之间的比例关系.
3 与圆有关的位置关系
(一)需要解决的问题：
1.点与圆的位置关系置后的作用是什么?
2.切线的性质及识别研究到什么程度?
3.弦切角及圆幂定理讲不讲?
4.与两圆位置关系有关的切线问题怎么办?
要理解实际上这是圆与其他图形之间的关系问题.
(二)要求问题
1.点与圆的位置关系
这个知识的引入最好利用已研究的圆周角的知识,即从已知一个圆和一个角,如果把角放在圆上情况有几种?
有“圆周角、圆内角、圆外角”，这是角的顶点情况有三种，恰好是研究圆的基本思路.实质是用数量关系研究位置关系.
可以形成过一个点、两个点、三个点、四个点的问题，从中可以总结出：不在同一条直线的三个点确定一个圆. 引申出确定圆、弧的所在圆的圆心的基本方法是 ：利用直径、利用垂经定理.
要明确圆与三角形的关系要理解：这个问题的逆问题就是垂经定理,进而可形成角平分线问题,也可以形成圆的一类基本问题.
三角形与圆的位置关系问题,在这里就是内接或外接的关系.
