如何有效地理解数学中的概念 概念是人脑反映客观事物本质属性的高级形式，这就是说概念是人们对客观事物的反映。概念反映的是事物中的本质属性，对其他非本质属性是不予理会的。而且按照心理学的观点，概念是代表一类具有共同本质属性的事物或客体的符号，这里的符号主要是指具有一般意义的词。例如“圆”这个词就代表了一个概念，一看到这个词，人们脑子里立刻引起一般圆的表象；它不是指某一个具体的圆，而是抽象的圆，世界上并不存在这种离开具体圆的抽象圆。概念一般是有层次结构的，随着人的认识的发展，人们对概念的理解就从具体性水平向抽象性水平发展，从日常概念向科学概念发展。 当然，对概念的理解是数学学习中的重要环节，它要求学生真正把握概念的内涵，然后根据内涵去确定概念的外延。 有效地理解数学概念有很多方法，而对不同的人又有不同的方法。我觉得要有效的理解数学中的概念，有以下几点供大家去学习： 1.培养提高学生的概括能力 培养提高概括能力是理解和掌握概念的直接前提。学生学习和应用知识的过程就是一个概括过程，而知识的迁移的实质也是概括。概括是一切思维品质的基础，就是用简短而精练的语言对所要认识的事物的本质特点进行描述、注明和提炼。因此，如果没有概括，学生就不可能把握要学习的概念，从而由某一概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法理解和掌握；没有概括，就很难进行逻辑推理，思维的深刻性和科学性也就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性与创造性也就无从谈起；没有概括，就不能实现思维的“缩减”或“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现。学生把握概念的程度受其概括能力的制约，因此必须培养提高概括能力。 要培养提高概括能力，学生必须学会对某一类具体事例的各种属性进行分化，再经过分析、比较、综合，抽出其共同的、本质的属性或特征，然后再予以概括得到某一概念；在此基础上，再进行类比，即把概括得到的本质属性推广到其他同类事物中去，这既是一个概念的形成应用过程，又是一个更高层次上的抽象概括过程。然后，把获得的新概念纳入到同一概念系统中去，即要建立起新概念与已有的概念系统之间的联系。从而我们知道，对于概念有关的具体例证的属性进行分化是概括的前提，而把类比概念、使新概念纳入到已有概念系统，又成为概念学习深化的重要步骤，因此，教师应该把教会学生对具体例证进行分化和类比作为概念教学的重要环节，使学生掌握分化和类比的技能技巧，从而逐渐学会自己分析材料、比较属性，并概括出其本质属性，逐步培养提高概括能力。 另外，数学概括能力中，发现关系的能力也很重要。发现关系即发现有关概念的事例中各种属性之间的关系，发现新概念与已有概念系统中相关概念之间关系。如果不具备这种发现关系的能力，概括也就难以进行。例如，在学习复数的模这一概念时，获得的信息是：复数 的模是与复平面内的点相对应的有向线段 的长度，即点 到原点O的距离，也叫复数 的绝对值。为了让学生经历概括“复数的模”的全过程，教师就应该引导他们将它纳入到已有的数的绝对值概念系统中去。在具体做法上，可以引导学生比较复数的绝对值与以前掌握的实数的绝对值之间的异同，把后者看成是前者的发展，把前者看成是后者的特例。然后，再就几何意义进行解释，将实数轴看成是复平面的一部分，实数 对应于复平面内的点 ，实数的绝对值解释成复数的模。由此，复数的模这一概念就不再陌生，也就更好理解了。 实践表明，在概念学习中，只有按照数学概念的层次结构，通过不断深入的抽象概括，形成结构层次分明的概念体系，才能使学生准确地把握概念的本质，形成比较完善的数学认知结构。实际上，数学概念的抽象性又有分层次的特点，这就产生了概念学习中概括活动的层次性，使概括活动成为一个螺旋上升的过程，抽象程度低的概念成为高层次概括活动的具体素材。随着概括活动层次的提高，学生掌握的概念的抽象程度也在提高，并逐渐形成概念的体系。 2.提高数学语言表达能力 可以用语言给事物命名，对事物的属性与功能进行表述。通过命名，可以使人头脑中关于事物的表象简约化。因为事物有了自己的“名字”，当它的表现形式发生改变而把本质特征掩盖起来时，人们可以利用这个“名字”以避免认知上的混乱。而对事物的属性或功能的叙述，可以帮助学习者深化概念学习，使概念各要素之间的关系更加明确，使一个概念与其它概念之间的联系和区别更加清晰。语言还可以使个体在理解概念的过程中，无需从头观察事物或回忆有关表象就能直接形成概念。所以，语言表达是概念学习过程中非常重要的一个环节。数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理，而数学语言表达能力也会影响逻辑推理的进行，当然也影响数学概念的形成。另外，学生能够用自己的语言正确地叙述概念，并解释概念所揭示的本质属性，是学生深刻理解概念的一种标志。 许多数学概念的语言表述都代明了概念产生的条件，是相应事物在数或量方面的发生发展过程的一种抽象，因此，概念的叙述过程实际上表明了概念应用时应该遵循的一种操作程序。例如，“单调函数”概念的语言表述是“设函数 的定义域为Ｅ，如果对于属于定义域Ｅ内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就称 在这个区间上是增函数；如果对于属于定义域Ｅ内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就称 在这个区间上是减函数。”根据这个定义的叙述，我们可以总结判断函数单调性的操作程序是： （1）设 ， 是给定区间上的任意两个自变量值，且 ； （2）分别计算 和 ； （3）判断差值 的符号； （4）给出相应的单调结论。 因此，要深刻理解和熟练应用概念，就应该对概念的语言叙述过程进行分解，以使学生掌握概念应用的操作程序。 3.加深学生对同化概念的理解 概念同化是指将新概念纳入到原认识结构或通过改变原认知结构而形成新结构的过程。用概念的同化方式获得概念，实际上是用演绎方式获得概念的一种形式。因为它是从抽象定义出发来学习概念，所以应注意及时应用实例，使出现概念获得具体例证的支持。学习中，必须经过概念分类这一步，因为它可以使学生从外延角度进一步地对概念进行理解，使对概念的认识进一步深化，搞清概念的各个方面，认清概念的各种特例。例如，如何判断某一事物是否隶属于该概念，如何推出隶属于该概念的事物的相应特征等等。这样可以防止出现知道概念的定义，但不知道如何用它来解题的情况。除此之外，还要注意为学生及时提供应用概念进行推理、论证的机会，在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况。另外，一定要将所学概念纳入到已有认知结构中去，形成概念系统，因为这一步可以使学生经历一次新的概括过程，使学生了解到有关概念之间的逻辑关系，从而深化对概念的理解，使概念掌握得更牢固，并能用来解决新的问题。 必须注意，数学概念是在主客体相互作用的基础上，主体反映客体时所产生的主观产物，因此概念不同于物体，概念教学的过程也不同于物体的传递过程。过去，一讲到知识的传授或接受，就会将它与物体的传递或接受模式联系起来，认为传递或接受一定是既不改变事物的性质也不改变事物的存在形式，只是发生位置移动而已。因而在数学概念的教学中，一讲到概念同化，就会将它与概念的接受联系起来，进一步的又与“注入式”教学联系起来，这样学生只能是被动地接受概念。事实上，这种理解是片面的，因为用概念同化模式进行数学概念教学时，教师为了把自己对概念的理解传授给学生，就必须将他的主观理解赋予一定的客观形式，即必须借助于一定的物质媒体（如声波、光波、文字等）进行编码，使其作为主观理解的载体，成为所要传递信息的信号，才能进行概念的教学。而从学生的角度来说，他所接受到的并不是现成的概念本身，而是教师用以说明他的理解的媒体或信号，他要从媒体和信号中获得教师所传递的理解或信息，则必须在自己的接受系统中进行一系列的加工处理，进行各种形式、各种水平的变换。这就要完成一系列的译码、编码活动，在自己的头脑中重新建立对概念的理解。因此，概念同化过程同样是学生对概念的主动理解过程，是学生利用自己已有认知结构对概念进行重新建构的过程。这样，只有学生处于十分主动的状态，积极进行一系列复杂的生理、心理水平的变换，即能动的反映活动，才能实现对数学概念的理解。 4.剖析概念中关键词语的深层含义 例如，分数定义中的单位“1”、“平均分”、“表示这样的一份或几份的数”，学生只有对这些关键词语的含义弄清楚了，才会对“分数”的概念有深刻的理解。再如给出“整除”概念之后应帮助学生从以下三方面进行判断，一是判断是否具有“整除”关系的两个数都必须是自然数；二是这两个数相除所得的商是整数；三是没有余数。又如“三角形的高”的定义:“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条边叫做三角形的底。”这里的“一个顶点”、“垂线”、“垂足”都是一些关键词语。为了让学生理解“三角形的高”这一概念，除了让学生理解字面意思外，往往还可以让学生通过实际操作，体会画“高”的全过程。指出画“高”的关键是画垂线，并注意限制条件：“过三角形的一个顶点(可以是任何一个顶点)，作到它对边的垂线，则顶点和垂足之间的线段即为高”。这样把实际操作的过程和所画的三角形高的图形与定义所叙述的内容结合起来，可以使学生准确地理解三角形的高的定义。这实际上是在数学概念建立后，帮助学生对本质属性进行剖析，既将本质属性再次从定义中分离出来，加以明确。 5.辨析概念的肯定例证和否定例证 学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例来突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解。教师不仅要充分运用肯定例证来帮助学生理解概念的内涵，同时还要适当运用否定例证来帮助学生把握概念的外延。在讲解概念后，往往要结合教学要求，组织学生进行一些练习。如讲完三角形分类后，可以提问：一个三角形不是直角三角形，并且有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形吗？通过让学生进行判断，引起学生讨论来巩固三角形的分类，以深化对三角形这一概念的外延的进一步认识。其实这不是锐角三角形，还有钝角三角形，它也有两个锐角。再如，学习小数的性质后，可以让学生判断下面各数中，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉：让学生对一组数0.400、0.030、20.030、10.404、5.0000进行判断。发现其中数0.400中“4”后面的“0”可以去掉，而前面的不可以；数0.030中“3”后面的“0”可以去掉而前面的不可以；数“20.030”中“3”后面的“0”可以去掉而前面不可以；数“10.404”中的“0”也都不可以去掉；数“5.0000”中的“0”都可以去掉，从而加深对小数性质的理解。 6.变换本质属性的叙述或表达方式 学生理解和掌握概念的特点之一往往是：对某一概念的内涵不很清楚，也不全面，把非本质的特征作为本质的特征。例如，有的学生误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形，如果斜着放就不叫长方形。这就把非本质特征（放置位置）误作为本质特征了，其实长方形的本质特征是有两组对边平行且有一个角为直角的四边形，这样才能正确理解“长方形”概念。为此，往往需要变换概念的叙述或表达方式，让学生从各个侧面来理解概念，其目的在于从变换中把握概念的本质属性，排除非本质属性的干扰。因为事物的本质属性可以运用不同的语言来表达，如果学生对各种不同的叙述和表达都能理解和掌握，就说明学生对概念的理解是透彻的，是灵活的，不是死记硬背的。 7.对相似的概念加以对比辨析 在中学数学中，有些概念很相似，但本质属性又有区别。如数与数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与面积，等等。对这类概念，学生常常容易混淆，因此必须对它们加以比较，以避免互相干扰。如学习了“整除”，为了和以前学的“除尽”相区别，可以设计这样的练习题：下列等式中，哪些是整除，哪些是除尽? (1)8÷2＝4；(2)48÷8＝6；(3)30÷7＝4……2；(4)8÷5＝1.6 (5)6÷0.2＝30; (6)1.8÷3＝0.6。引导学生通过分析、比较，从而得出：只有(3)是有余数的除法，当然不能说“被除数”被“除数”整除或除尽，而其它各题当然可以这样说；其中只有(1)、(2)中被除数、除数和商都是自然数，而且没有余数，因而这两题既可以说“被除数”被“除数”除尽，又能说是“被除数”被“除数”整除；而（4）、（5）、（6）只是“被除数”能被“除数”除尽，而不是“整除”的情形。通过上面的分析中，让学生明白：整除是除尽的一种特殊情况，除尽包括了整除和一切商是有限小数的情况。 又当学习了“比”之后，可以用列表法设计一些习题，从中使学生明确：“除法是一种运算，分数是一个数，比是一个关系式”。 8.重视概念的运用 数学概念来源于生活，理解它就必然要回到实际生活中去。教师引导学生运用概念去解决数学问题，是培养学生思维能力，发展各种数学能力的过程。并且，也只有让学生把所学习到的数学概念，拿到实际生活中去运用，才巩固所学的概念，进而提高学生对数学概念的运用技能。为此，教师在教学中应当根据教材内容和学生实际，在掌握中学数学教材逻辑系统的基础上，有意识地深化和发展学生的数学概念。例如在学习“圆的面积”后，一位教师就设计了这样的问题：“我们已经学习了圆面积公式，谁能想办法算一算，学校操场上白杨树树干的横截面面积?”同学们就讨论开了，有的说，算圆面积一定要先知道半径，只有把树砍下来才能量出半径；有的不赞成这样做，认为树一砍下来就会死掉。这时教师进一步引导说：“那么能不能想出不砍树就能算出横截面面积的办法来呢?大家再讨论一下。”学生们渴望得到正确的答案，通过积极思考和争论，终于找到了好办法，即先量出树干的周长，再算出半径，然后应用面积公式算出大树横截面面积。课后许多学生还到操场上实际测量了树干的周长，算出了横截面面积。再如，在教学正比例应用题时，可以启发学生运用旗杆高度与影长的关系，巧妙地算出旗杆的高度。这样通过创设有效的教学情景，教师适时点拨，不但启迪了学生的思维，而且培养了学生学以致用的兴趣和能力，也加深了对所学概念的理解。在运用中理解概念，这样才能深刻灵活地理解概念而不容易忘记。 3结束语 本文主要从培养提高学生概括能力、提高数学语言表达能力、增强学生对概念同化过程、剖析概念中关键词语的深层含义、辨析概念的肯定例证和否定例证、变换本质属性的叙述或表达方式、对相似的概念加以对比辨析、重视概念的运用等，八个方面讨论了如何有效理解数学中的概念。这些方面对学生学习概念很有帮助，也是我学习当中感觉比较深、也是比较实用的部分。我觉得其中最重要的是要重视概念的运用，这样理解概念才会深刻不容易忘记。总之，只有在生活中才能牢固有效地理解概念，并灵活把握概念的内涵和外延。 参考文献 [1]刘华祥，王丹华，中学教学论，武汉大学出版社，第1版，2003， [2]章建跃，数学概念的学与教，人民教育出版社，2002 [3]廖英，让概念走入生活让生活走进教学，泉州师院附属陪文实验高中，2004 [4]邹先春，教学与生活，湖北省公安县第一中学 [5]王林金，中学数学思想方法，暨南大学出版社，2000 [6]刘兆明，中学方法论，湖北教育出版社，1987 [7]陈德山，数学概念教学浅见，省农垦总局第一高中，2004 [8]林志华，引导学生自主探索培养学生创新精神，三明十中，2004 [9]俞正光，大学数学概念、方法与技巧，清华大学出版社，2001.08 [10]乔治•波利亚，怎样解题-数学教学法的新面貌，上海科技教育出版社，2002.02
2015年