高中数学选修《导数及其应用》（
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一、选择题（每题4分，共32分）
1.满足f(x)＝f ′(x)的函数是 （ ）
A f(x)＝1－x B f(x)＝x C f(x)＝0 D f(x)＝1
2.曲线在点（－1，－3）处的切线方程是 （ ）
A B C D
3．已知函数y= f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则=( )
A f ′(x0) B 2f ′(x0) C －2f ′(x0) D 0
4．函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）
A 1，－1 B 3，-17 C 1，－17 D 9，－19
5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则 ( )
A f(x)=g(x) B f(x)－g(x)为常数函数 C f(x)=g(x)=0 D f(x)+g(x)为常数函数
6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 （ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
7、函数的部分图像如图所示，若方程恰有两个不等根，则有（ ）
A.或 B.或 C.D. 以上都不对
8．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是 （ ）
A (－3，0)∪(3，+∞) B (－3，0)∪(0，3) C (－∞，－3)∪(3，+∞) D (－∞，－3)∪(0，3)
二.填空题（每题4分，共24分）
9.某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+( t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为 .
10.过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________．
11函数 在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为
12.周长为20的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为
13.设函数。若是奇函数，则__________。
14.设函数的导数为，则数列的前项和是
.
三．解答题（共44分）
15（本小题满分10分）已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．
⑴求f(x)的解析式；
⑵求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间.
16（本小题满分10分）
已知f(x)=x3+ax2+bx+c,在x＝1与x＝－2时，都取得极值。
⑴求a，b的值；
⑵若x[－3，2]都有f(x)>恒成立，求c的取值范围。
17(本小题满分12分) 已知a为实数，。
⑴求导数；
⑵若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
⑶若在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围。
18(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．
⑴求函数f(x)的单调递减区间；
⑵若，证明：．
附参考答案：
一、选择题：1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A 7.A 8.D
二、填空题：9. 10. 2x－y+4=0 11. 12.
13. 14.
三、解答题：
15. 解：⑴设f(x)=ax2+bx+c，则f ¢(x)=2ax+b．
由题设可得：即解得
所以f(x)=x2-2x-3．
⑵g(x)=f(x2)=x4－2x2－3，g ¢(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)．列表：
|
x |
(-∞,-1) |
-1 |
(-1,0) |
0 |
(0,1) |
1 |
(1,+∞) |
|
f¢(x) |
－ |
0 |
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
f(x) |
↘ |
|
↗ |
|
↘ |
|
↗ |
由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．
16. 解：a＝，b＝－6. 由f(x)min＝－+c>-得或
17. 解：⑴由原式得∴
⑵由 得,此时有.
由得或x=-1 , 又
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为
⑶解法一:的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得
即 ∴－2≤a≤2.
所以a的取值范围为[－2,2].
解法二:令即 由求根公式得:
所以在和上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,
从而x1≥-2, x2≤2,
即 解不等式组得－2≤a≤2.
∴a的取值范围是[－2,2].
18.
解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－。由<0及x>－1，得x>0．∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．
⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，
因此，当时，≤，即≤0∴ ．
令，则＝．
∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．
∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ．
综上可知，当时，有．
2015年