高二数学月考试卷文科答案
一，选择题
1．下列命题的否定错误的是( )
A．p：能被3整除的整数是奇数；非p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；非q：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C．p：有的三角形为正三角形；非q：所有的三角形都不是正三角形
D．p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；非p：当x2＋2x＋2>0时，x∈R
[答案] D
[解析] D选项将命题的否定与逆否命题混淆了．
2．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线的方程是( )
A．y＝7x＋4 B．y＝7x＋2
C．y＝x－4 D．y＝x－2
【解析】 y′＝4－3x2，所以曲线在点(－1，－3)处的切线斜率为k＝4－3(－1)2＝1，于是切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.
【答案】 D
、3．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查充要条件，集合之间的关系. 若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图可知，一定存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．本题在集合间的关系转化时若不结合Venn图很容易误认为是充分而不必要条件，从而错选A项．
4．下列命题中，真命题是( )
A．存在x0∈R， ≤0 B．任意x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
[答案] D
[解析] 本题考查了量词与充分必要条件．由指数函数的性质知A错误．
当x＝3时，8<9，知B错误，由a＝b＝0时知C错误，排除法是解选择题的不错选择．
5．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( )
A．25 B．6 C．7 D．8
【解析】 将数列分组得(1)，(2,2)，(3,3,3)，(4,4,4,4)，…，这样每一组的个数为1,2,3,4，…；其和为，令n＝6，则有＝21，所以第25项在第7组，因此第25项是7.
【答案】 C
6．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋( )．
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋
≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案 D
7．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( )
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．a，b大小不定
【解析】 a＝，b＝，显然a<b.
【答案】 B
8．若曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，则x0等于( )
A. B．－
C. D.或0
【解析】 (x2－1)′＝2x，(1－x3)′＝－3x2，
由垂直的条件得2x0·(－3x)＝－1得x0＝.
【答案】 A
9．已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2
C．m>2 D．－2<m<2
[答案] C
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于( )
A. B．－1
C．2 D．3
【解析】 ∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2.
【答案】 C
11．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
图1－1－6
A．26 B．31
C．32 D．36
【解析】 设第n个图案有an个菱形花纹的正六边形，则a1＝6×1－0，a2＝6×2－1，a3＝6×3－2，故猜想a6＝6×6－5＝31.
【答案】 B
12．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
【解析】 y′＝－＝－.
设t＝ex(t∈(0，＋∞))，
则y′＝－＝－，∵t＋≥2，
∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共20分)
13．存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．
解析 要使x2－4bx＋3b<0成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>.
答案 (－∞，0)∪
14．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．
解析 ∵a，b∈(0，＋∞)且＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16，∴a＋b的最小值为16.
∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.
答案 (0,16]
15.过曲线y＝cos x上点P(，)且与过这点的切线垂直的直线方程________．．
【解】 ∵y＝cos x，∴y′＝－sin x.
曲线在点P(，)处的切线斜率是
y′|x＝＝－sin ＝－.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为.
∴所求直线方程为y－＝(x－)，
即2x－y－＋＝0.
16．下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
②“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
③“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
其中说法不正确的序号是________．
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；
②由不等式的性质可知，“a>b”与“a＋c>b＋c”等价，故②错误；
③“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2＋b2≠0”，故③错误；
④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性一致，故④正确．
答案 ①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知x∈R，a＝x2＋，b＝－x＋2，c＝x2－x＋1.
求证：a，b，c中至少有一个不小于1.
[分析] 在已知中，a，b，c均以函数的形式单独出现，故想直接证明难度较大，所以可以考虑用反证法．
[解析] 假设a，b，c均小于1，则a＋b＋c<3， ①
又a＋b＋c＝2x2－2x＋＝2(x－)2＋3≥3， ②
则①和②矛盾．
∴假设不成立，即a，b，c中至少有一个不小于1.
18(12分)．若全称命题“对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[分析] 由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x∈[－1，＋∞)时，f(x)min≥a，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题．
[解析] 解法一：由题意，对任意x∈[－1，＋∞]，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立．
对任意x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，
解得实数a的取值范围是[－3,1]．
解法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为对任意x∈[－1，＋∞)，
f(x)≥0恒成立．
所以Δ≤0，或
即－2≤a≤1，或－3≤a<－2.
所以－3≤a≤1.
19．已知函数f(x)＝aln x＋x2.
(1)若a＝1，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)对于任意x≥2使得f′(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x2，则f′(x)＝＋2x，故在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝3，又f(1)＝1，即切点为(1,1)，故切线方程为y－1＝
3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)当x≥2时，f′(x)≥x，即＋2x≥x(x≥2)恒成立，即a≥－x2在x∈[2，＋∞)上恒成立．
令t＝－x2，当x∈[2，＋∞)时，易知tmax＝－4，为使不等式a≥－x2恒成立，则a≥－4，故实数a的取值范围为[－4，＋∞)．
20．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足.
(1)若a＝1，且“p且q”为真，求实数x的取值范围；
(2)若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，
即p为真时，实数x的取值范围是1<x<3.
由，得2<x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2<x≤3.
若“p且q”为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x<3.
(2)非p是非q的充分不必要条件，即非p⇒非q，且非q不能推出非p，设A＝{x|非p}＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|非q}＝{x|x≤2或x>3}，则AB，结合数轴得0<a≤2，且3a>3，所以实数a的取值范围是1<a≤2.
21．(12分)已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
解 由命题p为真知，0<c<1，
由命题q为真知，2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需<2，即c>，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p、q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0<c≤；
当p假q真时，c的取值范围是c≥1.
综上可知，c的取值范围是.
22．(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图2
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
【解】 (1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由以上规律，可得出f(n＋1)－f(n)＝4n，
因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，所以f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f[n－(n－1)]＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4[n－(n－1)]
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝(－)，
所以＋＋＋…＋
＝1＋(1－＋－＋－＋…＋－)
＝1＋(1－)＝－.
2015年