教学

环节

教  学  过  程

设 计 意 图

创设

情境，引入课题

（2分钟）

1. 如图为某市一天内的气温变化图：

问题1  怎样描述气温随时间增大的变化情况？

问题2  怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高或下降”这一特征？

 （而后将其引申到函数中图像的上升与下降，接着板书课题：函数的单调性）

从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，同时利用多媒体展示，有利于激发学生的积极性，拉近数学与实际的距离，增强直观性，感受数学源于生活，学会用数学的眼光关注生活。

归纳探索，形成概念

（25分钟）

问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？

问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升（下降），或者如果函数在某个区间上随自变量x的增大（而减小），y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．（减函数）

问题3：如何从解析式的角度说明在上为增函数？

启发提示：（1）如果在y轴右侧部分取两个点（x1，y1）、（x2，y2），当x1<x2时，y1，y2的大小关系如何？

（2）是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？

问题4：能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

（1）板书定义（老师板书严格规范的定义）

设函数的定义域为I，对于定义域I上的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有（），那么就说函数在区间D上为增函数（减函数）。

思考交流：你认为增、减函数定义中的关键词是什么？

[教师口述]：函数是单调增函数或是单调减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数在某个区间上是单调增函数（单调减函数），那么就说函数在这个区间上具有单调性。这一区间叫做的单调增（减）区间。

（2)巩固概念（幻灯片显示判断题）

①已知因为，所以函数是增函数．（  ）

②若函数满足则函数在区间上为增函数．(  )

③若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．(  )

④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.(  )

例1  如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

强调四点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 

说明：要说明一个命题是正确的，必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可。

    新课标十分注重初中与高中的衔接，注重通过函数的图像研究函数的基本性质。以学生熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺应同学们的认知规律。第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言．通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义．符合学生最近发展区的理论要求。这里也体现以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．

关键词“定义域”“区间”“任意”“都有”。

介绍相关概念，使学生进一步理解单调性的概念。

使学生进一步熟悉函数的单调性与函数的图象间的关系,会从函数图象上初步判断函数的单调性；并培养学生运用数学语言进行正确表达的能力。渗透用图象法来判断函数的单调性思想方法

掌握证法，应用举例

（13分钟）

例2：画出的图像，判断它的单调性，并加以证明。

解析：画出图形，让学生归纳。

下面利用定义证明：（略）

思考交流:请同学们试想，根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？

师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：

（1）取值：设是给定区间上任意两个值，且；

（2）作差与变形：作差，变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；

例2和例3先从“形”上去判断单调区间和单调性，再回归定义去，从“数”的角度证明单调性，使学生认识到“形”可帮助我们探索解题思路，而定义是最终解决问题的基础．规范解题过程、总结解题步骤是知识和方法的提炼，也是对学生学习的指导.

通过例题的解决让学生归纳证明函数单调性的一般步骤，使学生初步掌

（3）定号：确定的符号；

（4）判断。

接下来，我们再来看一个例题：

例3：判断函数在（0，+）上的单调性，并加以证明。

分析:先画图，利用图像来判断，再利用定义来证明单调性。（让学生自己动手）

变式训练;将题中定义域改为(- ∞，0),能给出解答吗？

握利用概念进行简单论证的基本方法。强化解题规范性训练，从而提高推理论证能力。通过解题帮助学生初步构建解题模式。

通过练习加深学生对概念的理解，进一步熟悉证明和判断函数单调性的方法和步骤，达到巩固并消化新知的目的。

课堂小结

（3分钟）

1、函数单调性的定义．

2、判断、证明函数单调性的方法：图象、定义．

3、证明函数单调性的步骤：①取值；②作差变形；③定号；④判断．

从知识、方法两个方面引导学生进行总结。学生回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法。

作业布置

(2分钟)

（1）阅读课本P29例2

（2）书面作业：教材  p39   1、2

课后尝试 

通过三个方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．课后尝试是对课堂知识的深化理解。让学有余力的学生适当加深，以满足他们学习的愿望，发展他们的数学才能。作业进一步反馈知识的掌握情况，进一步落实教学目标，也符合面向全体，分层教学和因材施教原则。