作业内容:
请描述自己在日常教学中为某节课某一环节所设计的案例,并对其案例产生的教育价值进行分析说明。
作业要求:
1.要求原创,拒绝雷同。
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3.请在截止日之前提交。
《函数的单调性》教学设计
一、本节内容在教材中的地位与作用:
《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容,该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性.这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高.这节通过对具体函数图像的归纳和抽象,概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的.教材中判断函数的增减性,既有从图像上进行观察的直观方法,又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法,最后将两种方法统一起来,形成根据观察图像得出猜想结论,进而用推理证明猜想的体系.函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,又是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
二、教学目标
知识与技能:
1、从形与数两方面理解单调性的概念
2、初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法
3、通过对函数单调性定义的探究,提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高推理论证能力
过程与方法:
1、通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合思想方法
2、经历观察发现、抽象概括,自主建构单调性概念的过程,体会从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程。
情感与态度:
1.通过知识的探究过程培养学生细心观察,认真分析,严谨论证的良好思维习惯。
2.在参与的过程中体验成功的喜悦,感受学习数学的乐趣,提高学好数学的自信。
三、重点难点
虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力,但是要用准确的符号语言去刻画图象的增减性,从感性上升到理性对高一的学生来说比较困难。单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。因此,对教学的重点、难点确定如下:
重点:函数单调性概念的理解及应用。
难点:探究出函数单调性的定义及利用定义证明函数的单调性。
四、教法分析
为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了:
1.通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发学生求知欲,调动学生主体参与的积极性。
2.在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与,正确地形成概念。
3.在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用,主要体现在设问,讲评和书写规范上。引导学生清晰的思维、严谨的推理,并顺利地完成书面表达。
五、学法分析
在教学过程中,设置问题情景让学生自觉地发现新知,探究新知,自主完成知识形成的全过程。通过学生的不断探索,最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解,最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中;同时让学生体验到了学习数学的快乐,培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
六、教材内容简析:
本节主要内容如下:
(1)单调性的相关定义:一般地,设函数的定义域为I,对于函数的定义域I上的某个区间D内的任意两个值,当时都有,那么就说在区间D上是增函数(减函数)。
注:关键词:“区间DI:”、“任意”、“都”。区间DI表明判断函数单调性首先判断函数的定义域,“任意”表明不可以用两个特定的值来确定函数是增函数还是减函数,但是可以用来否定函数是增函数或者否定函数是减函数,“都”表示单调区间中的每一个值无一例外。
如果函数在定义域的某个区间上是增函数或减函数,那么就称这个函数在这个区间上具有严格的单调性。这个区间就叫做单调增区间(或单调减区间)
(2)单调性的判断与证明:
①单调性的判断:图像法、定义法;(注:两个单调区间的“并”不一定是单调区间。)
②单调性的证明步骤归结为五个步骤:取值、作差与变形、定号、判断。
七、教学过程设计
教学 环节 |
教 学 过 程 |
设 计 意 图 |
创设 情境,引入课题
(2分钟) |
1. 如图为某市一天内的气温变化图: 问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况? 问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高或下降”这一特征? (而后将其引申到函数中图像的上升与下降,接着板书课题:函数的单调性) |
从学生熟悉的生活情境引入,让学生对函数单调性产生感性认识,为引出单调性的定义打好基础,有利于定义的自然生成,同时利用多媒体展示,有利于激发学生的积极性,拉近数学与实际的距离,增强直观性,感受数学源于生活,学会用数学的眼光关注生活。 |
归纳探索,形成概念 (25分钟)
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问题1:分别作出函数的图象,并且观察自变量变化时,函数值的变化规律?
问题2:能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升(下降),或者如果函数在某个区间上随自变量x的增大(而减小),y也越来越大,我们说函数在该区间上为增函数.(减函数) 问题3:如何从解析式的角度说明在上为增函数? 启发提示:(1)如果在y轴右侧部分取两个点(x1,y1)、(x2,y2),当x1<x2时,y1,y2的大小关系如何? (2)是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢? 问题4:能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? (1)板书定义(老师板书严格规范的定义) 设函数的定义域为I,对于定义域I上的某个区间D内的任意两个自变量,当时,都有(),那么就说函数在区间D上为增函数(减函数)。 思考交流:你认为增、减函数定义中的关键词是什么? [教师口述]:函数是单调增函数或是单调减函数,是对定义域内某个区间而言的。如果函数在某个区间上是单调增函数(单调减函数),那么就说函数在这个区间上具有单调性。这一区间叫做的单调增(减)区间。 (2)巩固概念(幻灯片显示判断题) ①已知因为,所以函数是增函数.( ) ②若函数满足则函数在区间上为增函数.( ) ③若函数在区间和上均为增函数,则函数在区间上为增函数.( ) ④因为函数在区间上都是减函数,所以在上是减函数.( ) 例1 如图是定义在区间[–5,5]上的函数y = f (x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 强调四点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数. 思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 说明:要说明一个命题是正确的,必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可。 |
新课标十分注重初中与高中的衔接,注重通过函数的图像研究函数的基本性质。以学生熟悉的函数为切入点,尽量做到从直观入手,顺应同学们的认知规律。第三个函数图象的上升与下降要分段说明,通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
函数单调性定义产生是本节课的难点,难在:如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言.通过问题的分解,引导学生步步深入,直至找到最准确的数学语言来描述定义.符合学生最近发展区的理论要求。这里也体现以学生为主体,师生互动合作的教学新理念.
关键词“定义域”“区间”“任意”“都有”。
介绍相关概念,使学生进一步理解单调性的概念。
使学生进一步熟悉函数的单调性与函数的图象间的关系,会从函数图象上初步判断函数的单调性;并培养学生运用数学语言进行正确表达的能力。渗透用图象法来判断函数的单调性思想方法
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掌握证法,应用举例 (13分钟) |
例2:画出的图像,判断它的单调性,并加以证明。 解析:画出图形,让学生归纳。 下面利用定义证明:(略) 思考交流:请同学们试想,根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么? 师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤: (1)取值:设是给定区间上任意两个值,且; (2)作差与变形:作差,变形,一般化成几个因子积的形式(或平方和形式); |
例2和例3先从“形”上去判断单调区间和单调性,再回归定义去,从“数”的角度证明单调性,使学生认识到“形”可帮助我们探索解题思路,而定义是最终解决问题的基础.规范解题过程、总结解题步骤是知识和方法的提炼,也是对学生学习的指导.
通过例题的解决让学生归纳证明函数单调性的一般步骤,使学生初步掌 |
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(3)定号:确定的符号; (4)判断。 接下来,我们再来看一个例题: 例3:判断函数在(0,+)上的单调性,并加以证明。 分析:先画图,利用图像来判断,再利用定义来证明单调性。(让学生自己动手) 变式训练;将题中定义域改为(- ∞,0),能给出解答吗?
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握利用概念进行简单论证的基本方法。强化解题规范性训练,从而提高推理论证能力。通过解题帮助学生初步构建解题模式。 通过练习加深学生对概念的理解,进一步熟悉证明和判断函数单调性的方法和步骤,达到巩固并消化新知的目的。 |
课堂小结 (3分钟) |
1、函数单调性的定义. 2、判断、证明函数单调性的方法:图象、定义. 3、证明函数单调性的步骤:①取值;②作差变形;③定号;④判断. |
从知识、方法两个方面引导学生进行总结。学生回顾函数单调性定义的探究过程;证明、判断函数单调性的方法步骤;数学思想方法。 |
作业布置 (2分钟) |
(1)阅读课本P29例2 (2)书面作业:教材 p39 1、2 课后尝试 |
通过三个方面的作业,使学生养成先看书,后做作业的习惯.课后尝试是对课堂知识的深化理解。让学有余力的学生适当加深,以满足他们学习的愿望,发展他们的数学才能。作业进一步反馈知识的掌握情况,进一步落实教学目标,也符合面向全体,分层教学和因材施教原则。 |
2015年