教学基本信息

题目

二次函数的应用（第2课时）

学科

数学

年级

九年级

教材内容

北师大版九年级下册第二章第四节

个人信息

设计者

姓名

单位

胡正东

鄱阳县珠湖乡华龙初级中学

1. 教材分析

课标中对本节内容的要求是学生能够通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力并在转化、建模中，学会合作、交流；本节内容设计了三个探究问题和一部分习题，它加强了方程等内容与函数的联系，在本章的学习中，教材已研究了二次函数及其图象和性质，让学生初步了解了求特殊二次函数最大（小）值的一些方法。本节课在巩固二次函数性质的同时，进一步让学生掌握利用二次函数知识求一些简单实际问题最大（小）值的方法，即如何获得最大利润问题，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。并通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活，本节内容具有承上启下的作用，既是前面所学知识的具体应用，又为学生在高中阶段进一步学习二次函数，以及用二次函数研究二次方程、二次不等式等知识奠定基础。

2. 学情分析

对现在我所任教的九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图像的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还是不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

  3. 教学目标(含重、难点)

知识与技能

   生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用。

过程与方法

    在问题转化、建模过程中，体会二次函数最值的应用及数形结合的思想，并且从中学会合作、交流，通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力。

情感、态度与价值观

    1、通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情。

2、在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神。

教学重点

利用二次函数解决商品利润问题。

教学难点：

建立二次函数数学模型，函数的最值 

4. 教学过程

教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

活动1

情景引入

教师出示问题：

1.求下列函数的最大值或最小值。

（1）

（2）

2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？

3.我们能否设计出一道题，用二次函数最值解决商品利润问题呢？

教师引导：

注意学生对函数最值的求解方法，及对x在某一个范围如何求解最值。

教师关注：

（1）最值的求解方法；

（2）商品中利润与进价、售价之间的关系。

学生自主完成问题1，对问题2稍作思考，初步了解本节课所要研究的问题

复习巩固函数的最值知识，商品的利润知识，并通过第三问引出本节课的内容，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情

活动2

展示问题

教师展示并提出问题：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

教师关注：

（1）学生对商品利润问题的理解；

（2）学生对两个变量的理解。

学生自主分析，得出结论：

（1）利润随着价格的变化而变化；

（2）利润＝销售额－进货额

   销售额＝销售单价×销售量

进货额＝进货单价×进货量

商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加。这两种情况都会引起利润的变化。激发学生探究的兴趣。

活动3

分析问题

师生共同分析：

（1）销售额为多少？

（2）进货额为多少？

（3）利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么？

（4）变量x的范围如何确定？

（5）如何求解最值？

 教师关注：

（1）学生能否用函数的观点来认识问题；

（2）学生能否建立函数模型；

（3）学生能否找到两个变量之间的关系；

（4）学生能否从利润问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值。

学生尝试分析

通过对实际问题的分析，把问题转化为二次函数求最值问题，让学生体会数学建模思想。

活动4

解决问题

教师出示问题，引导学生做到：

当x =    时，y最大。在涨价情况下，涨价    元，即定价    元时，利润最大，最大利润是      元。

教师关注：

（1）二次函数是生活中实际问题的一种数学模型，可以解决现实问题；

（2）通过数学模型的使用，感受数学的应用价值。

学生小组讨论解决后，与教师和全体同学共同完善解答过程及方法。

通过实际问题的解决，并对解决方法进行反思，获得解决问题的经验，感受数学的价值。

活动5

分组讨论

讨论

由（1）（2）的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大吗？

教师关注：

（1）变量x的范围；

（2）函数的性质与图象的应用；

（3）函数模型为现实服务。

学生讨论，小组交流

讨论是让学生更清楚地掌握函数建模的实际应用价值，掌握实际问题的解决方法。

活动6

小结与作业

师生小结：

（1）通过本节课的学习，你有哪些收获？

（2）你对本节课有什么疑惑？说给老师或同学听听。

布置作业

教材习题。

学生归纳、总结自由交流发言。

学生按要求完成

总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识。

加深认识，深化提高，查漏补缺。

5．板书设计

实际问题与二次函数

1、（展示问题）   3、（解决问题）   2、（分析问题） 4、讨论 5、小结与作业

6．教学活动设计（含师生对话设计）

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，并加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的，为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，特配有学生学案并适当地辅以电脑多媒体技术。

有关利润问题的学习。通过教师的引导学生似乎理解了这类问题的解决思路，但是通过练习很多学生还是在解决相似问题时，没有找到各个量之间的关系，导致列不出函数关系式，更谈不上去求最值问题了。在学生练习的过程当中，我也不断地进行引导，要求学生依据等量关系去找到这些量，然后去列函数关系式。但最终的结果是，有些学生仍然似懂非懂。

在这类问题中（利润问题），一元二次方程就有这样的问题，学生理解的不透彻，导致对这样的问题有“畏难”情绪，有些学生认为，反正在一元二次方程中我都不理解，在这还是不去理解吧。其次，是学生对这样的问题不想去理解，源于自己思维的懒惰型，教师没有很好的把这种惰性化为积极地因素。

所以在今后的教学过程中，多注重各章节的衔接，特别是在一元二次方程应用中，重点分析解决此类相关问题，为二次函数的应用打好扎实的基础。

7.教学反思

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，并加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的，为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，特配有学生学案并适当地辅以电脑多媒体技术。

有关利润问题的学习。通过教师的引导学生似乎理解了这类问题的解决思路，但是通过练习很多学生还是在解决相似问题时，没有找到各个量之间的关系，导致列不出函数关系式，更谈不上去求最值问题了。在学生练习的过程当中，我也不断地进行引导，要求学生依据等量关系去找到这些量，然后去列函数关系式。但最终的结果是，有些学生仍然似懂非懂。

在这类问题中（利润问题），一元二次方程就有这样的问题，学生理解的不透彻，导致对这样的问题有“畏难”情绪，有些学生认为，反正在一元二次方程中我都不理解，在这还是不去理解吧。其次，是学生对这样的问题不想去理解，源于自己思维的懒惰型，教师没有很好的把这种惰性化为积极地因素。

所以在今后的教学过程中，多注重各章节的衔接，特别是在一元二次方程应用中，重点分析解决此类相关问题，为二次函数的应用打好扎实的基础。