等差数列

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列

第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、设计思想

1．教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法

引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标

通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。

五、教学重点与难点

重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。

关键：

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程

教学

环节 情境设计和学习任务

上节课我们学习了数列。在日常生活

中，人口增长、教育贷款、存款利息

创设等等这些大家以后会接触得比较多的

情景 实际计算问题，都需要用到有关数列

的知识来解决。今天我们就先学习一

类特殊的数列。

由学生观察分析并得出答案：

在现实生活中，我们经常这样数

数，从0开始，每隔5数一次，可以

得到数列：0，5，___,___,___,___,„

2000年，在澳大利亚悉尼举行的

奥运会上，女子举重被正式列为比赛

项目。该项目共设置了7个级别。其

中较轻的4个级别体重组成数列（单

位：kg）：48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼

类有良好的生活环境，用定期放水清

理水库的杂鱼。如果一个水库的水位

探索为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，

研究 最低降至5m。那么从开始放水算起，

到可以进行清理工作的那天，水库每

天的水位组成数列（单位：m）：18，

15.5，13，10.5，8，5.5

我国现行储蓄制度规定银行支付

存款利息的方式为单利，即不把利息

加入本金计算下一期的利息。按照单

利计算本利和的公式是：本利和=本金

×（1+利率×寸期）.例如，按活期存

入10 000元钱，年利率是0.72%。那

么按照单利，5年内各年末的本利和分

 

数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。

思考：同学们观察一下上面的这四个数列：

0，5，10，15，20，„„ ① 48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④

看这些数列有什么共同特点呢？

发现规律 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的

总结差等于同一个常数，那么这个数列就提高 叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。 提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？ 观察分析并得出答案:

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5 ；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5 ；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5 ；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72 ；

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。 由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A

通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。

通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。

让学生参与到知识的形成过程中，获

学生活动 倾听 观察分析，发表各自的意见设计意图课堂引入 引向课题

 

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13„中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来，

a2a4a1a5,a4a6a3a7 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则 amanapaq

[等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列{an}的第n

项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。 总结

提高

所以就有 A

ab

2

深入探究，得到更一般化的结论 由学生经过分析写出通项公式： ①这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20

（=5+5+5+5）

，„„由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an5n ② 这个数列的第一项是48，第

2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得

到这个数列的通项公式是

an485(n1)

③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an182.5(n1)

④这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×

得数学学习的成就感。 引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。

学会发现规律，并加以总结。

⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项a1和公差d，它的通项公式是什么呢？

思考：那么通项公式到底如何表达呢？

总结得出通项公式：由此我们可以猜想得提高 出：以a1为首项，d为公差的等差数

列{an}的通项公式为

ana1(n1)d

也就是说，只要我们知道了等差数列的首项a1和公差d，那么这个等差数列的通项an就可以表示出来了。

例1、⑴求等差数列8，5，2，„的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5，-9，

-13，„的项？如果是，是第几项？ 分析：

⑴要求出第20项，可以利用通项公式应用求出来。首项知道了，还需要知道的巩固 是该等差数列的公差，由公差的定义

可以求出公差；

⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。 2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an1007272(n1) 引导学生根据等差数列的定引导学生进义进行归纳： 行理性分析a2a1d,与推导，从而 (n1)个等式a3a2d,得出公式。 a 4a3d,所以 a2a1d, a3a2d, a4a3d, „„ a2a1d, 进一步的分a3a2d(a1d)da2d,析。 a4a3d(a12d)da3d, „„ 思考，并发表各自的意见。 让学生有自主思考的时空。 让两个学生分别对这两小题加让学生参与以分析。 课堂。 解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20， 得a208(211)(3)49 ⑵由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程，得

n=100，即-401是这个数列的第

100项。

例题评述：从该例题中可以看出，等聆听教师点评 通过教师点差数列的通项公式其实就是一个关于评，提高学生

对关键问题an、a1、d、n（独立的量有3个）的

的认知水平。 方程；另外，要懂得利用通项公式来

判断所给的数是不是数列中的项，当

判断是第几项的项数时还应看求出的

项数是否为正整数，如果不是正整数，

那么它就不是数列中的项。

随堂练习：课本45页“练习”第1题；

例2．某市出租车的计价标准为1.2

元/km，起步价为10元，即最初的4km

（不含4千米）计费10元。如果某人

乘坐该市的出租车去往14km处的目的

地，且一路畅通，等候时间为0，需要

支付多少车费？

例题评述：这是等差数列用于解决实

际问题的一个简单应用，要学会从实

际问题中抽象出等差数列模型，用等

差数列的知识解决实际问题。

随堂练习：课本45页“练习”第2题；

例3 已知数列{an}的通项公式为

anpnq,其中p、q为常数，且p≠

0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可

以利用等差数列的定义，也就是看完成练习 讲练结合，有利提高学生的知识应用水平 解：根据题意，当该市出学以致用，将租车的行程大于或等于4km时，所学知识应每增加1km，乘客需要支付1.2用到具体生元.所以，我们可以建立一个等活中去，加深差数列{an}来计算车费. 对概念的理 令a1=11.2，表示4km处解。 的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费 a1111.2(111)1.223.2(元 答：需要支付车费23.2元。 聆听教师点评 通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。 完成练习 讲练结合，有利提高学生的知识应用水平 分析思考，然后分组讨论，让培养学生分两组学生代表发表自己的见析问题的能解。 力，在小组讨论中提高组长的组织与归纳组内成员想法的能力。 解：取数列{an}中的任意

相邻两项an与an1（n＞1），

anan1（n＞1）是不是一个与n无关求差得

anan1(pnq)[p{n1)q]的常数。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？

⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。 分析：⑴n为正整数，当n取1，2，探索3，„„时，对应的an可以利用通项公研究 式求出。经过描点知道该图象是均匀

分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。

该处还可以引导学生从等差数列anpnq中的p的几何意义去探究。

课堂本节主要内容为： pnq(pnpq]p 它是一个与n无关的数. 所以{an}是等差数列。 这个数列的首项a1pq,公差dp。由此我们可以知道对于通项公式是形如anpnq的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q. 例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。 学生动手画图，并进行学习小组讨论，发表见解。 以学习小组为单位，在学习小对所得结论进行更深入一步的探究，激发学生的学习兴趣。 通过学生动手作图，并加以对比，让学生体会数列与函数的内在关系。 学生自己小

小结 ①等差数列定义：即anan1d(n≥组中，各自归纳自己对这堂课结，使学生对

的收获，后由小组代表总结归自己所学知2)

识有更深刻②等差数列通项公式：纳。

的认识。 ana1(n1)d(n≥1)

推导出公式：anam(nm)d

1、已知{an}是等差数列. ⑴ 2a5a3a7是否成立？ 2a5a1a9呢？为什么？

⑵ 2anan1an是否成立？据（）1n1此你能得出什么结论？ 2anankan（是否成立？据）kn1

作业是课堂

的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。

评价

设计 此你又能得出什么结论？

2、已知等差数列{an}的公差为d.求

aa

证：mnd

mn

七、教学反思

本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程，也使本节课的三维目标真正落到实处。

福州金桥高级中学 林岳水

点评：

本设计从生活中的数列模型，如举重级别、水库水位、储蓄的本息计算等问题引入，进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学习的主动性。在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括得出等差数列定义，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程。

本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、到位、适度。如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素材；又如：把通项公式与一次函数发生联系，利用函数这一“上位”概念，来“同化”等差数列的概念，体现函数思想；还有让学生经历列表、画图象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的联系；此外，用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等。学生在经历过程中，加深了对概念的理解和巩固。

本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。教学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。

值得商讨的问题，在等差数列中，对于任意正整数m,n,p,q，若mnpq则amanapaq这一性质的在第一课时提出是否不合时

宜，并且只是这样蜻蜒点水是否忽视了其重要性。