相似三角形的判定

   南昌市新建区第五中学   魏柏桂

【教学设计思想】

相似三角形的概念是本节的重点也是本节的难点。相似三角形的判定是基础，所以应重点讲解，让学生熟记判定定理，再通过实例来体会相似三角形在实际生活中的应用。因此教学时注意知识的实践性和与“全等形”相关联的特点，突出学时探究基础上的概括，从而有利于提高学生掌握思维策略和学习能力。

【教学目标】

1、能说出三角形相似的判定定理1和直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似的重要结论；

2、会用三角形相似的判定定理1和重要结论来证明有关问题；

3、通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，使学生进一步领悟类比的思想方法。

4、通过解题的引申练习，培养学生练习后反思的好习惯。

【重点和难点】

理解相似三角形的判定定理1和重要结论，并能用其来解决有关问题

【教   具】

    三角板、量角器、多媒体设备

【教学设计】

一、复习旧知识，运用类比的思想方法引导学生提出问题

    1、什么叫相似三角形？怎么表示？

    （在学生回答完后，教师总结）对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。（注意：三角形相似不一定限定在两个三角形之间，可以是两个以上，但不能是一个。）表示：如果∆ABC与∆A'B'C'相似，则记作∆ABC∽∆A'B'C'.

用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且，∴∆ABC∽∆A'B'C'.

注意：与三角形全等的书写类似，表示对应角的字母顺序需要一样

2、上节课我们还学习了一个判定两三角形相似的定理，哪位同学能说说？

    学生回答完之后投影：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

 3、除了用定义和上面的定理来判定三角形相似外，还有什么方法可判定两个三角形相似？我们知道判定两个三角形全等的方法有“AAS”、“ASA”、“SAS”、

“SSS”、“HL”等，那么类似地，判定两个三角形相似还有哪些方法？今天我们开始来研究这个问题。

二、（新课）师生共同解决问题

问题：如图（4）所示，在∆ABC与∆A'B'C'中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，试猜想：∆ABC与∆A'B'C'是否相似？并证明你猜的结论。

让学生思考讨论，从图形的外观，绝大多数学生会猜这两个三角形相似。结论的证明以教师讲授为主，并引导学生思考：根据题设条件，难于用定义来证明，因为用定义来证明需要的条件较多，所以不妨考虑用定理来证明。为此，需要构造出符合定理条件的图形：在∆ABC中，作BC的平行线，且在∆ABC中截得的三角形与∆A'B'C'又有着非常紧密的联系（全等），这样师生共同分析，完成证明。教师把证明过程投影到屏幕。

证明：在∆ABC 的边AB上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则有

∆ADE∽∆ABC.

∵∠ADE=∠B， ∠B=∠B'，

∴ ∠ADE=∠B'.

又∠A=∠A' ，AD=A'B'，

∴ ∆ADE≌ ∆A'B'C'.

∴∆ABC ∽ ∆A'B'C'.

    告诉学生，如图（5）、图（6）这样作辅助线也可以证明这个问题。

最后师生共同归纳，得出结论：（投影）

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两三角形相似．

用数学符号表示这个定理：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴∆ABC∽∆A'B'C'.

（让学生说，最后教师板书即投影）

    对于三角形来说，有两个角对应相等意味着三个角都对应相等。

    三、应用举例，变式练习

    例1：已知：∆ABC和∆DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°，求证：∆ABC∽∆DEF.

    让学生运用本节学习的定理自己证明，然后教师总结并且把证明过程投影到屏幕。

    证明：∵在∆ABC中，∠A=40°，∠B=80°

∴∠C=180°- 40°- 80°=60°

∵在∆DEF中，∠E=80°，∠F=60°

∴∠B=∠E，∠C=∠F

∴∆ABC∽∆DEF（两角对应相等，两三角形相似）.

1、           

例2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

    说明：在教师的引导下，先由学生自己作出图形，并写出已知、求证、证明.

然后教师总结并给出解答参考：

　　已知：如图（7），∆ABC中，CD是斜边上的高．

　　求证：∆ABC∽∆CBD∽∆ACD．

　　证明：∵∠B=∠B，

　　        ∠CDB=∠ACB=90°，

　　　　　∴∆ABC∽∆CBD

（两角对应相等，两三角形相似）．

    同理  ∆ABC∽∆ACD．

∴∆ABC∽∆CBD∽∆ACD．

    （最后告诉学生，以后可以直接用例2的结论来判定直角三角形相似.）

   课堂练习（投影）

2、判断题：

   (1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形。     （      ）

   (2)两个等腰直角三角形是相似三角形。             （      ）

   (3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形。       （      ）

   (4)两个直角三角形一定是相似三角形。             （      ）

   (5)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似。   （      ）

   (6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形。   （      ）

   (7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。 （      ）

   (8)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似。（      ）

   (9)所有的正三角形都相似。                       （      ）

   (10)两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似.    （      ）

3、填空：（填上“不”、“不一定”或“一定” ）

    两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形_______相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形_______相似．

（提问：做完了就完了吗？然后引导学生在练习的过程中，养成反思的好习惯）

*引申：（即反思）已知当两个等腰三角形都有一个角为时，这两个等腰三角形一定相似，则的取值范围是多少？（90°≤＜180°或=60°）

分析：两种情况，一种是当等腰三角形的底角和顶角相等时，这时为等边三角形，结论是显然的；第二种是这时的取值要保证顶角和底角不出现相等的情况，这时必为顶角的度数。因为等腰三角形的底角不可能≥90°，而等腰三角形的顶角可为0°～180°之间的任意度数，所以只有当90°≤＜180°时，才不至于有顶角和底角相等的情况（两个等腰三角形之间）。

4、如右图，

(1)若∠B=∠C，则  ∆ABE∽∆______；

∆DBO∽∆______．

   *(2) 若∠B=∠C，且∠1=∠A，则图中相似三角形共有______对．

（因为这时出现4个三角形，它们之间任意两个都相似，所以这个问题可以归为：在平面上有4个点，在这4点任意两点联线段，共有多少条线段？更一般地，如果有n个点的话，则共有1+2+…(n-1)=条）

    （如还有时间，可再做几道练习）

四、小结

（教师可向学生提问：到目前为止，我们学习了哪些判定三角形相似的方法？然后师生共同总结）

到目前为止我们学习了判定三角形相似的方法有：

1、定义法

2、   平行于三角形一边的直线的定理. 

  ∵DE∥BC  ∴∆ADE∽∆ABC

3、判定定理1

    ∵∠A=∠A'，∠B=∠B'    

∴∆ABC∽∆A'B'C'

4、直角三角形的一个重要结论：

∵∠ACB=90°,CD⊥AB

∴∆ABC∽∆ACD∽∆CBD

五、作业：课本P.238   2、3、4

对“相似三角形的判定”教学案例的分析

南昌市新建区第五中学   魏柏桂

一、本教学案例的优点：

1、教学思想符合新课程理念

从本节课教学设计、课堂教学过程来看，教师是教学活动的组织者、参与者，学生是学习的主人。教学活动以学生的学习活动为中心，让学生有更多的机会主动体验、经历探究活动，真正的将教学的重心和立足点从教师的教转移到学生的学上，将学习的主动权交给学生，使学生最大限度地参与了学习的全过程，体现了一切为了学生的发展的新课程理念，教师具有良好的课改意识。

2、教学设计、教材处理较好地突出重点、突破难点。

教师认真挖掘、组织课程资源，通过精心设计一系列探究活动。设计为引入新课——利用定义，解决问题——一起探究——例题讲解。具体的说，即将数学课分为四个阶段：第一阶段，在教师创设的与课题相关的、学生感兴趣的情境下，学生积极进入学习状态；第二阶段，教师引导学生将情境问题数学化，通过这些从情境问题中引出的数学问题让学生对需要学习的知识进行建构；第三阶段，教师选取某个问题进行变式教学，通过题组教学、模型识别、解后反思等一系列的手段，使学生在知识、方法上融会贯通，思维的灵活性、深刻性和发散性得以进一步的培养；第四阶段，指学生结合自己的知识经验和思维方式对前一阶段所获得的信息进行知觉的重组而产生顿悟，并以此来解决一些原来不能解决的问题或产生一些新的问题，实现了思维层次的提较好地突破教学难点。

3、教学策略较好体现三维目标

    通过建立数学模型，引导学生使用化归思想。要让学生善于学习，促进他们通法的掌握是重要途径之一。化归思想与转化思想不同，主要是化归思想必须有一归结的目标，也就是老经验。因此，在教学实践中，我采用了下列两个做法：一是建立“一线三等角”的数学模型，让学生在实验操作中探寻出折纸问题中的数学问题本质特征。并把它上升为一种理论，指导其他问题的解决。二是采用探究条件的转化，使问题表象发生变化，引导学生去伪存真，还原出数学问题的本质。

4、课堂教学结构条理清楚

    整节课围绕相似三角形的判定及应用开展教学活动，条理清楚、层次分明，虽然教学活动形式多样，探究实验内容多，但一点都有不显得零乱，整个课堂教学有序有线、丰富多彩，使学生处始至终保持很好的注意力和兴奋度，学习效果好。

5、教学评价方面：师生配合好，较好地完成教学目标。

本节课中，教师采用的教学方法主要是引导探究和学生合作探究的教学方法，教师是课堂教学的组织者、引领者、参与者，学生是学习的主人，教师教学语言清晰亲切，处处体现对学生的爱护和鼓励，学生积极主动参与探究活动，动手操作能力和科学素养得到提高。如在演示实验中教师边调天平边介绍天平使用方法，师生同步动手，配合默契、感情融洽，在探究过程中多次渗透观察、比较、归纳等方面的学法指导。由于师生的良好互动和共同参与，

二、本教学案例的不足

1、教学的方式过于单一，学生的参与面较低。主要是我没有调动好他们的情绪，说明我对课堂的驾驭能力还需要提高。

2、教学内容还有待于进一步改进和丰富。

3、备课时没有考虑学生的实际情况，犯了备课只备教材不备学生的大忌。

三、本教学案例的改进建议

1、多媒体的使用在创设教学情景、展示微观动态过程、提高课堂效益等方面有良好作用。本节课多媒体的使用大多恰到好处，制作也独具匠心，但播放的幻灯片数量过多，可能造成学生视觉疲劳，而且会影响学生探究活动的连续性，干扰学生的思维活动。建议把、探究、总结等幻灯片删除。

2、学生在分组探究中，教师不能忽略过去，应帮助分析原因，或让这些同学表达出来，进行交流，师生共同评价，这样更有利于保护、培养学生的积极性。

3、学生探究完成后，应留下一定时间，引导学生完成探究报告，并及时了解、反馈学生探究完成情况及疑问。