4.确定一次函数表达式

 

●课    题    确定一次函数表达式

●教学目标

(一)教学知识点

1.了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数.

2.能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关现实问题.

(二)能力训练要求

能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力.

(三)情感与价值观要求

能把实际问题抽象为数字问题，也能把所学知识运用于实际，让学生认识数字与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.

●教学重点

根据所给信息确定一次函数的表达式.

●教学难点

用一次函数的知识解决有关现实问题.

●教学方法

启发引导法.

●教具准备

投影片两张：

第一张：补充练习(记作§6.4 A)；

第二张：补充练习(记作§6.4 B).

●教学过程

Ⅰ.导入新课

在上节课中我们学习了一次函数图象的定义，在给定表达式的前提下，我们可以说出它的有关性质.如果给你有关信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题.

Ⅱ.讲授新课

一、试一试

某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示.

(1)写出v与t之间的关系式；

(2)下滑3秒时物体的速度是多少？

分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数的图象，然后设函数解析式，再把已知的坐标代入解析式求出待定系数即可.

请大家先思考解题的思路，然后和同伴进行交流.

因为函数图象过原点，且是一条直线，所以这是一个正比例函数的图象，设表达式为v=kt，由图象可知(2，5)在直线上，所以把t=2,v=5代入上式求出k，就可知v与t的关系式了.

解：由题意可知v是t的正比例函数.

设v=kt

∵(2，5)在函数图象上

∴2k=5

∴k=

∴v与t的关系式为

v=t

(2)求下滑3秒时物体的速度，就是求当t等于3时的v的值.

解：当t=3时

v=×3==7.5(米/秒)

二、想一想

请大家从这个题的解题经历中，总结一下如果已知函数的图象，怎样求函数的表达式.大家互相讨论之后再表述出来.

第一步应根据函数的图象，确定这个函数是正比例函数或是一次函数；

第二步设函数的表达式；

第三步根据表达式列等式，若是正比例函数，则找一个点的坐标即可；若是一次函数，则需要找两个点的坐标，把这些点的坐标分别代入所设的解析式中，组成关于k，b的一个或两个方程.

第四步解出k,b值.

第五步把k,b的值代回到表达式中即可.

由此可知，确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？

确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件.

三、例题讲解

［例］在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数、当所挂物体的质量为1千克时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.

请大家先分析一下，这个例题和我们上面讨论的问题有何区别.

在没有图象的情况下，怎样确定是正比例函数还是一次函数呢？

因为题中已告诉是一次函数.

解：设y=kx+b,根据题意，得

15=k+b,          ①

16=3k+b.         ②

由①得b=15－k

由②得b=16－3k

∴15－k=16－3k

即k=0.5

把k=0.5代入①,得k=14.5

所以在弹性限度内.

y=0.5x+14.5

当x=4时

y=0.5×4+14.5=16.5(厘米)

即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米.

大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求函数表达式的步骤.

它们的相同步骤是第二步到第四步.

求函数表达式的步骤有：

1.设函数表达式.

2.根据已知条件列出有关方程.

3.解方程.

4.把求出的k,b值代回到表达式中即可.

Ⅲ.课堂练习

(一)随堂练习

(题目见教材)

解：若一次函数y=2x+b的图象经过点A(－1,1),则b=3,该图象经过点B(1，－5)和点     C (－，0)

(题目见教材)

解：如下图，直线l是一次函数y=kx+b的图象.

(1)b=2,k=－;

(2)当x=30时，y=－18;

(3)当y=30时，x=－24.

(二)补充练习

投影片(§6.4 A)

 

1.根据条件，确定函数的表达式 y与x成正比例，当x=5时，y=7

解：

设y=kx,

当x=5时，y=7

∴7=5k,∴k=

∴y=x.

投影片(§6.4 B)

2.若函数y=kx+b的图象经过点(－3，－2)和(1，6)，求k，b及表达式.

 

解：根据题意，得

－3k+b=－2             ①

k+b=6                  ②

由①得  b=3k－2

由②得b=6－k

所以3k－2=6－k

即k=2

把k=2代入②，得b=4

所以y=2x+4

Ⅳ.课时小结

本节课我们主要学习了根据已知条件，如何求函数的表达式.

其步骤如下：

1.设函数表达式;

2.根据已知条件列出有关k,b的方程;

3.解方程，求k,b;

4.把k,b代回表达式中，写出表达式.

Ⅴ.课后作业

习题6.5

1.解：设y=kx,根据题意，得

3=－2k

∴k=－

∴y=－x

2.解：如图函数图象过(0,1)和(3,－3)点，根据题意，得

b=1                                                          ①

3k+b=－3                                                 ②

把①代入②，得  3k+1=－3

∴k=－

∴b=1,k=－

3.解：(1)设y=kx+b,根据题意，得

45.5=6k+b                                                ①

105.5=14k+b                                            ②

由①得，b=45.5－6k

由②得，b=105.5－14k

所以45.5－6k=105.5－14k

即k=7.5

把k=7.5代入①，得b=0.5

所以蛇的长度y与其尾长x之间的关系式为y=7.5x+0.5

(2)当x=10时

y=7.5×10+0.5=75.5(厘米)

即当一条蛇的尾长为10厘米时，这条蛇的长度是75.5厘米.

Ⅵ.活动与探究

某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元是行李质量x(千克)的一次函数，其图象如下图所示.

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)旅客最多可免费携带多少千克行李？

解：由图象可知此函数是一次函数.

设y=kx+b.根据题意，得

60k+b=6                                            ①

80k+b=10                                          ②

由(1)得b=6－60k

由(2)得b=10－80k

所以6－60k=10－80k

即k=0.2

把k=0.2代入①得

b=－6

所以行李票费用y与行李质量x之间的函数关系式为y=0.2x－6

(2)当y=0时,x=30

即旅客最多可免费携带30千克行李.

●板书设计

§6.4  确定一次函数表达式 一、试一试(会根据条件求函数关系式) 二、想一想(已知函数图象求解析式) 三、例题讲解(确定表达式) 四、课堂练习 五、课时小结 六、课后作业

●教学设计反思 

（1）设计理念 

    本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题．本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础． 

（2）突出重点、突破难点策略 

探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获．  

（3）分层教学 

  根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择下述内容进行补充或拓展，也可留作课后作业．