函数的表示方法—分段函数

教学目标 

1．知识与技能：1）.进一步理解函数的概念；2）.使学生掌握分段函数及其简单应用

2. 过程与方法 通过学习函数的表示形式，加深理解函数概念的形成过程

3.情感.态度与价值观  让学生感受学习函数的必要性，渗透数学形结合的思想方法

教学重点：分段函数的理解   难点：分段函数的图象及简单应用

学法分析 .自学法和尝试指导法

学前准备：

1、自学新课——课标导学

1．分段函数 有些函数在定义域内，对于自变量x不同的取值范围，_____不同，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域     值域是          

2、自主尝试——基础测试

1函数y＝x＋|x|x的图象为(　　)

 

2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km为1.6元(不足1 km，按1 km计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为(　　)

 

3．已知f(x)＝2x(x≥2)，(x2(－1＜x＜2))若f(x)＝3，则x的值是(　　)

A．1   B．1或32    C．1，32或±3    D.3

教学过程

(—)创设情景—揭示课题

问题1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？

2．y＝|x|＝－x　(x＜0)(x　(x≥0))可以说y＝|x|是两个函数吗？

3你能给下图一定的故事情境吗？ 

学生甲见图说了这样一个情节：小明骑自行车去上学，中途遇到了交通堵塞耽误了时间，被疏散后一看快要迟到了，急匆匆的赶往学校。

横轴是时间，纵轴是路程。

学生乙也站起来说，由于他贪玩中途去了网吧，那他还可能去了图书馆呢？学生们纷纷议论课堂气氛一下子就活跃起来我就是抛出以下几个问题

（二） 师生互动 ——高效课堂

问题4 它是函数吗？如果是它的定义域，值域是多少，不是说明理由。

5 f(30)=     如果f(x)=4，那么x=     

6求此函数的解析式。

学生们不在议论而是思考起来，小组讨论不一会学生丙说：

是函数。(为什么？)学生说函数有三种表现形式，这是图像法，有的同学小声说对，(但是我笑了，问的是他为什么是函数？)他有些不好意思说：哦，在定义域【0，60】,每取一个自变量的值都有唯一的函数值和它对应。(我说，说的对吗)，大家一口同声的说对，(很好它是函数，同时他也说出了定义域，它的值域呢)学生说是【0,4】，（很好，那下个问题）学生站起来说，从图像上观察知f(30)= 2    如果f(x)=4，那么x= 60   （很好，看起来我们大家的观察力很强，它是函数，那它对应的解析式呢？）

（学生沉默了一会，开始动起笔来，我来到他们中间给与引导）有大学生皱起了眉头，抬头望着我说，我们见过直线，和抛物线的函数，可没见过折线的呀？（是的，你说的很多，我们可以把它分成我们知道的呀？）哦，有的小组已经动起笔来了我又顺便说，课前预习很重要的，以后要做到课前预习）他很调皮的笑了笑，开始做题了八分钟过后有的小组结论已经出来了，（我请学生到前面讲他是如何做的？）学生丁不慌不忙的来到前面

把自己的过程说了一遍，学生给他鼓掌，（我面对他笑了，看起来课下用心了，要再加油我有对此加以强调.）

说明：通过以上我们知道得到以下启示：1表示函数的式子也可以不止一个问题，但他们是同一函数2，对于一个函数的表示也可以是几个式子表示，由于在定义域的范围内，它的图象也由几部分构成，故有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数。注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。它的定义域的并集，值域是它各段值域的并集，还要注意各个端点的值。

（三）、协作尝试——激活思维

例3．（教材 例6）出示例题，（学生表示了浓厚的学习兴趣，本例题选的是出租车的收费问题，又是来源于生活，学生学得津津乐道，课堂氛围非常好）

例4．的图象，并分别求出函数的值域。

（四）、反思探究——思维聚焦

（通过本节的学习，你有哪些收获?）（学生总结，我总结）

分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．

（五）阶梯攀升——打造实效

1．已知 ，则=         。

2．在函数中，若，则的值为      。

3．函数f(x)＝x2＋6x(－2≤x≤0)(2x－x2(0≤x≤3))的值域是(　　)

A．R  B．[－9，＋∞)    C．[－8,1]  D．[－9,1]

4．已知f(x)＝－1，x<0，(1，x≥0，)则不等式x＋(x＋2)•f(x＋2)≤5的解集是________．

5．已知f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．

6．某汽车以52千米/小时的速度从A地到260千米远的B地，在B地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A地．试将汽车离开A地后行驶的路程s(千米)表示为时间t(小时)的函数．

（本试题的选择有一定的梯度和难度，即检测了对知识的理解，同时也考察了对知识的运用，同时也体现出建模和数形结合思想的完美结合。如果能做到课前预习，在经过上课老师的启发与引导到对于这些学生来说还有有一定的价值，同时这这一节的延伸）

本节课的反思：

本节课是在我对《反思递进式教学模式》的研究与实践中设计的，学生的基础不错，很好的完成了教学任务。我觉得有如下优点：

1自主学习形式的确定：(1)学生能自主完成自学任务。（2）重视问题的创设，给出的问题适时适度，具有探究性。(3)；允许与别人讨论等。

2、训练的题型和形式的确定：非形式化，即不是教材内容的简单模仿，需要对例题所蕴含的学生思想和学生方法有进一步的认识。不搞题海战术,能充分发挥例题、习题的功能，利用一题多解，一题多变来教会学生解题。

3、师生双主体意识的体现：(1)在课堂教学活动过程中，学生主动参与学习意识强，能主动发现和分析问题，能联系新旧知识，能在独立思考的基础上，与同伴开展交流、讨论，能提出解决问题的各种方法，并努力进行验证。(2)在课堂教学活动过程中，教师能创造性地设计教学过程，洞察课堂中发生的各种问题，并准确地判断发生问题的原因，能动地、有效地处理这些问题，把握教学活动的主动权。

4、创新意识的体现：(1)能把实际问题转化为数学问题。(2)能应用所学的知识解决解决问题。(3)能概括和推广解法，能进行知识的迁移和综合应用。