在知识经济时代,知识的加速发展是不可否认的事实,而对一个高节奏,高科技,高风险,高竞争,高压力的21世纪,教育只有进行改革和创新才能适应这一形势。而创新能力不仅是一个民族,一个社会富有生机与活力的前提条件,也是一个民族,一个社会文明发展水准的标志,是一个国家综合国力的重要组成部分。江泽民总书记对于创新做了最精辟的论述:“创新是一个民族进步的灵魂,是国家兴旺发展的不竭动力。”为了适应这一形势,教育在面向受教育者传授一定的基础理论和基础知识的同时,还要注意从创新角度出发,培养学生的智能,使他们能够有效地驾驭并灵活运用知识,即实行“智能教育”,培养学生的创造力。而数学科要结合本学科的特点,着重利用数学知识的发生,发展和应用过程中,让学生学会运动变化,分析与综合,归纳与演绎,比较与类比,具体与抽象,一般化与特殊化,数形结合等数学思想与方法,把学生的思维能力提高到一个新的高度,让学生掌握科学的思维方法,学会运用基本的思维技巧,努力去获取成功。下面就如何实施谈一下自己的做法:
(一) 利用数学的多角度,培养学生的发散思维
由于发散思维具有多端性,变通性,独特性的特点,即思考问题时注重多途径,多方案;解决问题时注重举一反三,触类旁通。这与数学知识的思维特征极为相似,所以要充分利用数学教学,正确培养和拓展学生的发散思维能力,对造就创新型人才至关重要。
[例]:a、b、c ,求证: ≥
这是一道不等式证明题,学生从a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立)出发,行不通。可以从以下几方面引导学生:
① ≥0 ≥2ab ≥ ≥ (a+b);②因为 是复数a+b (a、b )的模,
则 ≥ =
从而得证。
③也可以从 是两直角边分别为a、b的
直角三角形的斜边出发,看成是右边三个三
角形三条斜边之和大于或等于 的长度。
可见,利用数学题目从一个已知信息出发,通过分解组合,引伸推导,想象,类比,从不同方向进行思考,得出多种思路,想出多种可能,它的思维目标是多侧面的,多角度的,多方位的。
(二) 利用数学的目标性,培养学生的聚合思维。
聚合思维又称求同思维,是从不同来源、不同材料,不同方向探求一个正确答案的思维过程和方法。思维方向集中于同一个相同的目标去思考。
[例]:求证恒等式(sinφ+tgφ)(cosφ+ctgφ)=(1+sinφ)﹙1+cosΦ﹚。
由于是恒等式证明,主要是证明两边相等。学生基本上是采用从左到右;左右相减;两边去括号,证相等。但由于考虑到右边也是两个括号,左边也是两个括号,可以采用从左边两个括号中分别提取tgφ,ctgφ而得到证明。目标性很明确。
[例]:求证△ABC的三内角A、B、C满足A+B+C=180゜.
它主要是利用平行线性质,来构造一个平角。由于聚合过程采用不同的方向,辅助线有以下几种不同的添加法。
当然,作为聚合思维,它能把散在千里之外的辐射性思维牵引回来,向着某一思维目标发起思维攻势,这种攻势是多侧面的,多方位的,多层次的,它在时间上既是多路同时汇集,又是连续不断的;在空间上是立体型的,火力网状式的,通过去粗存精,去伪存真,而使思考慢慢缩小,逐步清晰,本质渐渐显露,最后探求出事物的原因或结果。
(三) 利用数学中的演绎关系,培养学生的演绎推理法,回溯思维法,逆向思维法。
演绎推理法是从普遍性(或称一般性)的前提推出特殊性(或称个别性)的结论的思维方法。这种思维方法的前提和结论之间是必然性的联系,是一种必然无误的断定。数学课本的体系都是采用演绎推理的。
回溯思维法又称溯源推理法,有广义和狭义两种理解。广义是根据事物发展过程所造成的结果,推断形成结果的一系列原因的整个逻辑思维过程;而狭义的则是指从事物的结果推断其原因的一种思维方法。简单地说,回溯思维法就是从事物的“果”回过来推测其“因”。
数学教学中,这两种思维是经常一起交叉使用的,比如平几、立几、解几中的证明题,其证明、分析过程一般都使用以上两种方法,充要条件的教学过程更是这两种方法集中使用的体现。
逆向思维法是为了实现创造过程中的某项目标,以背逆常规现象或解决问题的方法为前提,通过逆向思考来实现发明和发现的方法。
对于数学中的选择题,有很多题目如能采用逆向思维,会使学生体会到科学思维的威力。
[例]:设复数z满足关系式z+|z|=2+i,则z等于( )
(A) (B) (C) (D)
2、定义在(-∞,+∞)的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,如果f(x)= lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么( )
(A) g(x)=x,h(x)=lg
(B) g(x)= ,h(x)= lg
(C) g(x)= ,h(x)=
(D) g(x)= ,h(x)= lg
有数不尽的选择题都可以象上面两道题不是直接从已知条件出发,而是从选择支出发去探求满足题意的捷径。
当然,在解析几何题中,也出现不少类似题。
如设双曲线 =1的一个顶点A,P是双曲线上异于顶点的任一点,从A点引两渐近线的平行线交直线OP(O为原点)分别于Q,R两点,求证:|OP|2=|OQ|·|OR|。
[从分析目标可知,先证:xp2=xQ·xR]。
(四)利用数学的指向性,培养学生的目标思维法。
目标思维是这样一种方法,首先确立要达到的目标,然后坚定不移地一步一步地去实现目标,不达目的决不罢休。做各项工作都离不开一定的目标,只是人们干工作,做事情时,有的目标明确,有的不明确,有的很模糊,实践证明:目标的明确度与工作的有效性往往是成正比例的。
在立几《多面体与旋转体》中,有关多面体与旋转体中的侧面积,体积等的证明过程都是采用目标思维法,解析几何中曲线的标准形式等也都采用目标思维法。由于数学问题是建立在要“解决”的情景之下的,可以说数学的发展都是在目标思维法的推动下而实现的。
(五)利用数学条件的可容性,培养学生的组合思维法与置换思维法。
这里的组合主要有以下两个含义:(1)指两个或两个以上各自独立元素的结合。(2)指数学中把m个不同元素中取出n个组成一组称为一个“组合”。组合思维法就是用这两种方法将不同元素组合起来的一种思维方法。组合思维法有发散性(求异性),选择性、综合性等三个特点。
数学中随处可见这种组合思维。例
1:已知f(x)是(-1,1)上的偶函数,且在(0,1)上是增函数,求满足f(a-2)-f(4-a2)<0的实数a的取值范围。
[定义域,偶函数,解绝对值不等式,函数单调性的组合]
2:设方程log3x+x-3=0的根为x1,方程3x+x-3=0的根为x2,求x1+x2的值。
[y= log3x,y= 3x,y=3-x的图象,互为反函数间的关系,对称性的组合]。
3:如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面圆周上,AF⊥DE,F是垂足。
(1)求证:AF⊥DB;
(2)如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比
等于3 ,求直线DE与平面ABCD所成
的角。
[圆柱与三棱锥组合在一起的题型]。
4:椭圆 =1( a>b>0)的焦距为6,两焦点把长轴三等分,求椭圆方程。
[长轴,焦距,a、b、c的组合]
当然,立几中接切,组合体都是组合思维的例证。解几中对曲线的方程基本上是a、b、c、e、p,准线等几个元素中任取两个的组合。
当然,组合思维法重在“合”,因而要对组合对象进行深入分析,把握它们个性特点,再从这些特点中概括出规律,综合形成设计方案。
置换思维法是将几个不同元素从一种排列变成另一种排列而变成新的组合思维的方法。或者是用别的元素替换某个元素,使之变成新的组合的思维方法。
数学中置换思维方法的例子也是随处可见。组合思维中的元素通常也可以用置换思维法去理解。又如,下面题组:
证明:(1)ctg2α(tg2α-sin2α)=sin2α
(2)
(3)sin4α-cos4α= sin2α-cos2α
上面各题中正弦换余弦,正切换余切;余弦换正弦,余切换正切,命题一样成立。
[例]把4本不同的书全部分给3个学生,每人至少一本,分法种数为多少?
可把书,学生置换成信、邮筒;司机、汽车;房子、住户;……
置换思维法与组合思维法可以说是孪生兄弟。组合思维法是用组合的方法去思考,而置换思维法是用排列的方法去思考。
学生学会了这些方法,可以对题目进行改造,由于没有固定的置换思考角度和方向,要求思维者的思维有较大的独立性、灵活性,从而不墨守成规。这两种方法也是创新能力的必需要求。
总之,当人类的步伐迈入二十一世纪时,我们的教育更应注重于以人为本,把人的大脑潜能充分调动起来,提高人类正确运用科学思维,提高解决问题的能力,努力关注人的生命质量的提升,关注学生获取终身学习的能力,关注创新性思维的必需。
2015年