例说分类讨论思想在一次函数问题中的运用

发布者：杨贻高     所属单位：赣县湖江乡湖江中学     发布时间：2015-11-16    浏览数：0

 

例说分类讨论思想在一次函数问题中的运用

江西省赣县湖江中学（341112） 杨贻高  

“物以类聚,人以群分”。日常生活中,人们习惯于把各种事物进行分类以简化问题、解决问题。我们在平时解决数学问题时,经常会碰到这样的情况:当问题解到某一步后,我们所研究的对象,需要按一定的标准分成若干个子问题来讨论,这种处理问题的方法实际上就是分类讨论的思想. "分类讨论"是一种重要的数学思想,也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、化零为整的思想与归类整理的方法。它揭示着数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳,使所学知识条理化,提高思维的条理性和概括性，使问题解决更全面，思路更清晰。本文就分类讨论思想在一次函数问题中的运用列举数例，作为一次函数复习的一个小节，供读者参考。

例1.(绍兴中考题)在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,则△OAB为此函数的坐标三角形.

(1)求函数的坐标三角形的三条边长；

(2)若函数 (b为常数)的坐标三角形周长为16,求此三角形的面积.

分析：(1)∵直线与x轴的交点坐标为A(4,0)，与y轴的交点坐标为B(0,3)，∴函数 的坐标三角形的三条边长分别为OB=3,OA=4,AB=5.

(2) 与x轴的交点坐标为（ ，0），与y轴的交点（0， b）.此时，直线与y轴的截距b的正、负需要分类讨论.

当b>0时,，得b=4，此时,坐标三角形面积为；

当b<0时,，得b=－4，此时,坐标三角形面积为；

综上,当函数的坐标三角形周长为16时,面积为.

点评：本题的第(2)问函数 (b为常数)的坐标三角形中，直线 (b为常数)在y轴上的截距b既可在正半轴也可在负半轴，因此必须分类讨论，否则将漏解或出错。

例2(北京市中考题)如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.

(1)求A，B两点的坐标；

(2)过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA，求△ABP的面积.

分析：(1)令y=0，得=   ∴A点坐标为（，0）

令x=0,得y=3, ∴B点坐标为(0，3).

(2)设P点坐标为(x,0)，此时合条件的点P可在x的正半轴也可在x的负半轴，若在x轴正半轴的点P记为，在x轴负半轴的点P记为,依题意可得P点坐标为(3,0)或(-3,0) .如图

∴△ABP的面积为

点评：本题的第2问：过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA。在思考和构建图形时要求学生考虑问题要慎重、周密、全面，对符合条件的所有情况要进行分类讨论，以达到完满的解题效果。

例3.(乐山市中考题)已知一次函数y＝kx+b(k≠0),当0≤x≤2时,对应的函数值y的取值范围是—2≤y≤4,   则kb的值为(   )

(A)12       (B)－6        (C)－6或－12       (D)6或12

分析：由题意知应分两种情况:一种情况是一次函数y＝kx+b,过点(0，—2),(2,4),另一种情况是一次函数y＝kx+b,过点(0，4),(2, —2),解方程组得k=3,b=-2或k=-3,b=4,所以kb的值为－6或－12.所以应选（C）。

点评：本题是选择题中的一道难题，难在学生易忽视自变量x与对应函数值y在规定范围内的分类，并且还要求解简单方程组。此类题型我们复习时要高度重视。

例4.如图，直线AB与y轴，x轴交点分别为A（0，3），B（4，0）如坐标轴上有一点C,使△ACB为等腰三角形，这样的点C有(        )个

A.5个    B.6个   C.7个    D.8个

分析：本题线段AB是固定的，即点A，点B固定，点C是待定的，而且要求点C在坐标轴上，同时要使△ACB为等腰三角形，因此要对不同的边做底、做腰进行分类。若以AB、BC做腰，AC为底边，则在坐标轴上可找到三个符合条件的点C（见图2中的,）；若以边AB、AC为腰，BC为底，则在坐标轴上也可找到三个符合条件的点C见图2中的，，）；若以边AC、BC为腰，AB为底，则在坐标轴上可找到两个符合条件的点C（见图2中的   ）.

综合上述分析可得本题选项为(D)

点评：本题题面不大，文字较少，表面看似简单，但却要求考生耐心细致的操作与找点，稍有疏忽就会出错。

例5.(2011·茂名中考)某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费.

(1)分别写出甲、乙两厂的收费y甲(元)、y乙(元)与印制数量x(本)之间的关系式；

(2)问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由.

分析：(1)y_甲=x+500,    y_乙=2x.

(2)当y_甲>y_乙时，即x+500>2x，则x<500,

当y_甲=y_乙时，即x+500=2x,则x=500,   当y_甲<y_乙时，即x+500<2x,则x>500,

∴该学校印制《学生手册》数量小于500本时选择乙厂合算，当印制《学生手册》数量大于500本时选择甲厂合算，当印制《学生手册》数量等于500本时选择两厂费用都一

点评： 本题既考查学生的一次函数构建能力，同时又与一元一次不定式取得联系，题目难度虽然不大，但较好的考查了学生的数学基本素养，也较好的检验了学生的数学实际应用能力。

例6：已知点A(1 ,2)、B（2 ，1）、C(-2 ,-1)，求经过A、B、C三点的函数解析式.

解析：本题应分三种情形进行讨论：

①若A、B、C三点在二次函数的图像上，设经过A、B、C三点的二次函数解析式为，把它们的坐标代人得  解得，，c=2，所以所求函数解析式为；

②若C、A 、B三点依次在一条折线上，设图像经过C、A的解析式为y=,

则有 ，解得.所以图像经过C、A的一次函数解析式为（x≤1）

同样的方法可求得图像经过A 、B的一次函数解析式为（x＞1），因此函数解析式为.

③若A、B、C三点在反比例函数的图像上，设函数解析式为，把A(1 ,2)代人得k=2,经验证点B(2 ,1)、C（-2 ，-1）也在函数的图像上；

综上所述，经过A、B、C三点的函数解析式有三种不同的函数解析式的结果。

评析：本题学生在解题中受思维定势的影响，往往会片面地认为，图像经过三个点的函数就是二次函数。初中阶段我们只学习了一次函数、反比例函数和二次函数，遇到此类问题时需要从上述三种函数考虑，不能忽略其中如何一类。否则将出错或漏解。