一、教学内容解析
教学内容
上海科学技术出版社教材九年级上册 24.1 锐角的三角函数 第1课时
教学内容的地位和作用
本节课内容是有关“正切”的概念课，与以前学过的一次函数、二次函数及反比例函数有所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系，且首次用符号来表示一种函数. 锐角三角函数是函数知识的推广和延伸，也是对直角三角形各元素之间关系的进一步探究，是三角学的起点.正切函数概念的建立是这节课的重点和难点，在形成概念和应用概念的过程中，学生通过自主学习、合作交流解决问题，积累数学活动经验，培养抽象、建模等数学思想.锐角三角函数与勾股定理一样都是解直角三角形很重要的知识内容之一，它揭示了直角三角形中边与角之间的关系，被广泛应用于测量、建筑、工程技术和物理学中，主要是计算距离、高度和角度.正确认识锐角三角函数，是学好解直角三角形的关键，也将为以后继续学习三角函数奠定必要的基础.
对于渗透数学思想方法而言，本节课在引入概念、计算化简、解决实际问题时，都要求学生通过画图帮助分析，由图形找出直角三角形中边、角的关系，加深对锐角三角函数概念的理解和应用，是诠释数形结合的理想材料.而数与形的结合不仅是数学自身发展的需要，也是辅助概念性教学、增强元认知策略的需要，对加深理解数学知识、发展数学能力有不可替代的作用.
二、教学目标设置
1.知识与技能
（1）理解正切、坡度的概念，正切与坡度的关系；
（2）掌握正切的表示方法，并能运用正切、坡度解决问题.
2.过程与方法
让学生经历多次猜想、验证，在不断的否定与肯定的过程中，探究如何描述坡面的倾斜程度，培养学生思维的批判性、深刻性．
3.情感、态度与价值观
经历正切概念的探索过程，体会从生活中的问题抽象出数学模型的建模思想、数形结合的重要性、体验角度和数值一一对应的函数思想，培养学生的符号意识.体会正切在生活中的应用.
教学重点：正切概念的探究
教学难点：
1.在正切概念的探究过程中，如何想到利用直角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度以及把比值和角度联系起来；
2.理解正切的概念.
三、学生学情分析
在此之前学生已经学习过函数的定义和相似三角形，具备了学习锐角三角函数的知识基础；九年级上学期的学生已经具有一定的空间观念、想象力、几何语言表达能力以及逻辑推理能力.学生已有的知识、经验、能力和思想方法为新的认知活动提供了必要的基础和条件.
在研究如何描述坡面的倾斜程度的过程中，学生对所构建的直角三角形的单一元素的研究中得出：直角三角形的锐角可以用来描述坡面的倾斜程度，而三边中的任何一条边都不可以.学生可能会想到两条边而如何又会想到两边的比值呢？这种变换思考问题的角度对学生来说还是有困难的.另外，学生虽然学习了一些函数的知识，但是学生对角度与数值之间的对应还是第一次接触，所以对锐角三角函数概念的理解仍显抽象和困难.
基于以上原因，我将本节课的教学难点确定为：1.在正切概念的探究过程中，如何想到利用直角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度以及把比值和角度联系起来；2.理解正切的概念.
突破难点一的策略：既然坡角可以用来描述坡面的倾斜程度，我们就想办法利用这个结论.两个锐角一样大的直角三角形（画出图形，结合图形说明）对应的坡面的倾斜程度是一样的，而这两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，这样就沟通了直角三角形中的边、角关系，从而变换角度继续探讨：能不能利用直角三角形两边的比来描述坡面的倾斜程度呢？
突破难点二的策略：借助几何画板，从运动的角度来实施动态化、形象化、直观化教学，进行图形的动画演示、验证，揭示了∠A的对边与∠A的邻边的比和∠A这两个变量之间一一的对应关系，因此学生会大胆地得出结论：正切就是反应直角三角形中锐角的对边与邻边的比值和∠A之间的一种函数.从而确信正切概念建立的科学性.
四、教学策略分析
依据教学内容、教学目标以及学情分析，本节课的教学策略采用启发式与自主探究相结合的模式.教师的教法突出探究活动的组织设计与方法的引导， 学生的学法突出自主、合作、探究的学习理念.整节课的探究活动采用问题引导下的自主探究，在探究中发现并掌握相关知识．具体做法如下：
以生活中的实际场景为背景创设情境，设计问题1：怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？因为学生对亲身经历的爬山坡有体验，所以对此展开探究.设计问题2：爬这两段山坡会有什么不同的感受？哪个坡面更陡？你是如何判断的？利用坡角的大小作出判断，这是绝大多数学生首先想到的办法，这个机会可以留给程度较差的学生，结合构建的图形口头叙述即可.而对于边的探讨，不少学生想不到，要引导学生将实际问题抽象成数学问题，构建直角三角形，利用构建的直角三角形通过举反例不断地否定.这里不光让学生体会建模的思想，还要让学生知道：在数学中说明一个结论不成立要举反例.从而得出从单一的元素考虑：锐角可以描述坡面的倾斜程度，而三边中的任何一条边都不可以.既然只用一边不行，我们综合考虑两条边.引出问题3：如何改进呢？此时给学生留时间思考、交流.突然变换角度思考问题，大多数学生都很茫然，只有少数学生有不太清晰的思路，这部分学生可以在老师的适当帮助下独立解决问题.对于多数学生，这时教师不只是引导，还要做必要的讲解.
学生在得到可以用直角三角形锐角的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度的同时，还得到：锐角和锐角的对边与邻边的比的关系：锐角固定，锐角的对边与邻边的比也固定.此时学生可能会想到问题4：如果角度变化了呢？这个比值会怎样呢？对于角度和比值之间的一一对应的函数关系，多数学生理解起来还存在思维障碍.这时教师通过几何画板的动态演示，从运动的角度直观化教学，使∠A的对边与∠A的邻边的比和∠A这两个变量之间的一一对应关系形象化，从而让学生深刻理解了正切就是反应直角三角形中锐角的对边与邻边的比值和∠A之间的一种函数.此处教师用“几何画板” 的演示起到了媒介特殊的作用----突破难点.同时“几何画板”的运用，为课堂教学注入了生命的活力，进一步增强了学生学习的积极性和求知欲望.
整个教学过程大致可以分为“提出问题---探索问题---解决问题” 三个阶段.问题解决的过程，正是学生情感态度、价值观及学习能力全面发展的过程.在这样的课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点想法，还学会了相互接纳、赞赏与互助，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思.通过学生间的多向交流，可以使他们从多角度看到解决问题的途径.学生探索数学新知的学习过程是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动构建的过程，要靠学生在活动中去领会.所以我将学习知识的过程和探究知识的过程统一到“尝试---探究” 的全过程中来.尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中交流，在“探究”中创新. 本节课就是这样依据知识的发生发展过程和学生的思维规律，围绕教学重点设计问题，引导学生的数学思维活动的.
五、教与学互动设计
（一）创设情境、引入新知
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怎样描述坡面的倾斜程度呢？ |
人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡.你有没有想过：怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？下面我们一起来探究.
【设计说明】 通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望.
（二）合作交流、探究新知
1. 探究是不是可以用“坡角”来描述坡面的倾斜程度
1. 探究是不是可以用“坡角”来描述坡面的倾斜程度
爬这两段山坡会有什么不同的感受？哪个坡面更陡？你是如何判断的？
针对学生的回答教师点评并总结：坡角可以用来描述坡面的倾斜程度.
【设计说明】 学生对亲身经历的事情有体验，更愿意积极投入去探究新知.
除此之外，你还有其它办法来比较哪个坡面更陡吗？
【设计说明】 引导学生通过多种途径去探讨问题
2. 探究是不是可以用“直角三角形的一边”来描述坡面的倾斜程度
预案一: （预案二、三、四在最后）
学生可能会说出：比较坡面的铅直高度（学生可能会说出山高，这时老师注意引导其正确表述出是坡面的铅直高度）你是怎样用坡面的铅直高度来比较哪个坡面更陡的？学生可能会说出：坡面的铅直高度高的更陡.大家同意他的看法吗？ 请不同意的同学举反例说明（可以在黑板上画图说明，画图说明会更直观、更形象.
师总结：回答的好极了！这位同学值得表扬的有两点：一是解决生活中的问题时，从中抽象出数学模型，构建直角三角形.把问题放到直角三角形中去研究，这是解决生活中问题的常用方法.二是具有批判精神，知道通过举反例的方法来说明一个结论不成立，这是解决数学问题的常用方法. 这位同学不仅抽象出了数学模型，而且给出了解决问题的方法.教师板书得到的结论：只用坡面的铅直高度不能描述坡面的倾斜程度.
【设计说明】 将实际问题抽象成数学问题，让学生体会建模的思想.同时让学生知道否定一个结论的常用方法---举反例.
你还有其它的办法来比较哪个坡面更陡吗？类似地，通过画图举反例的方法说明只用坡面的长度、水平宽度也不能描述坡面的倾斜程度.
（以下是几种预案共同使用）
师总结：为了研究坡面的倾斜程度，大家把注意力放在直角三角形的边、角这些基本元素的探讨上，这是值得肯定的.从以上的研究可以看出：倾斜角可以描述坡面的倾斜程度.而只用坡面的长度、铅直高度、水平宽度三者中的任何一个都不可以.因为它们都不能唯一确定坡面的倾斜程度. 放到构建的直角三角形中从单一的元素去考虑就是：锐角可以描述坡面的倾斜程度，而三边中的任何一条边都不可以.
【设计说明】 经历一次次的否定，培养学生思维的批判性.
3．探究是不是可以用“直角三角形两边的比”来描述坡面的倾斜程度
只用一边不行.如何改进呢？我们综合考虑两条边.（此处给学生留有探究的时间）
（引导学生发现）既然坡角可以用来描述坡面的倾斜程度，我们就想办法利用这个结论.两个锐角一样大的直角三角形（画出图形，结合图形说明）对应的坡面的倾斜程度是一样的，而这两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，这样就沟通了直角三角形中的边、角关系，从而变换角度继续探讨：能不能利用直角三角形两边的比来描述坡面的倾斜程度呢？这节课我们来研究倾斜角的对边与邻边的比.所以我们猜想：可以利用倾斜角的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度.下面对我们的猜想给出证明.
在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形有什么关系？在这些直角三角形中，锐角Ａ的对边与邻边的比值 , ，……有怎样的关系？
C1
B1
B2
C2
A
C
B
由此你能得到什么结论？
在这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与∠A的邻边的比值总是唯一确定的.所以，倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度.
【设计说明】 通过相似沟通了直角三角形中的边、角关系，从而变换角度继续探讨，符合学生的认知规律.此时学生的思维豁然开朗，同时培养了学生思维的深刻性. 此环节的设计正是数学思维的开阔性，多角度，多方位性的展现. 师生的共同努力淋漓尽致地演绎了数学体现在思维艺术上的美. 从而解决了本节课的第一个难点.
师强调：这里要告诉大家的是：在数学的学习中，说明一个结论不成立要举反例；说明一个结论成立要给予证明.
4. 探究锐角和锐角的对边与邻边的比之间的关系
师：上面的结论告诉我们，锐角和锐角的对边与邻边的比的关系：锐角固定，锐角的对边与邻边的比也固定.如果锐角变化了呢？这个比值会怎样呢？（几何画板演示）
【设计说明】 初步建立坡角和坡角的对边与邻边的比二者之间的关系，为得到正切的概念打基础.
请同学们带着问题：“在Rt△ABC中，只要锐角A的大小不变，无论这个直角三角形的大小如何，锐角A的对边与邻边的比值总是一个固定值吗？当锐角A取其它固定值时，锐角A的对边与邻边的比值还是一个固定值吗？” 观察几何画板的演示：（1）∠A不变，BC沿AC所在的直线滑动且BC⊥AC; (2) ∠A的大小变化，BC沿AC所在的直线滑动且BC⊥AC.
给学生留充分的时间观察思考，由学生发现：（1）当∠A固定时，无论Rt△的大小如何变化，不变；（2）当∠A变化时，随之改变.
师：∠A的对边与∠A的邻边的比（即）随∠A的变化而变化，并且对于∠A的每一个值，都有唯一确定的值与之对应. 你认为与∠A这两个变量之间是一种什么关系？（函数）
【设计说明】 借助几何画板，从运动的角度来实施动态化、形象化、直观化教学，进行图形的动画演示、验证，揭示了∠A的对边与∠A的邻边的比和∠A这两个变量之间一一对应的函数关系.从而确信正切概念建立的科学性. 几何画板为学生分散、突破难点提供了较好的素材.
于是有
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA， 即
tanA ===
【设计说明】 给验证结果下准确结论，并结合图形进行准确地符号表达.
类似地，你认为∠B的正切该如何表示？
【设计说明】 趁热打铁，让学生表示出∠B的正切，有利于学生深入认识正切的定义，初步实现教学目标.
5. 回归情境引入
如何描述坡面的倾斜程度呢？
介绍坡度的概念，记住关系式i==tanA. 在日常生活中，刻画倾斜程度常常用坡角（或倾斜角）的大小来表达，但是在大量实际问题中，坡角是不可测量的.所以，可以用坡角的正切描述坡面的坡度（倾斜程度）.可见，坡度(i=tanα)越大,坡角α越大,坡面就越陡.
【设计说明】 体会数学来源于生活并运用于生活，同时解决情境引入中提出的问题：坡度和坡角都可以用来判别坡面的倾斜程度.
6. 典例示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝5.求tanA和tanB.
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12 |
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A |
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C |
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B |
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5 |
【设计说明】 巩固正切的概念，进一步落实教学目标.
例2 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
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C |
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B |
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A |
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12 |
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13 |
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E |
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F |
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D |
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5 |
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8 |
【设计说明】 通过计算正切值判断梯子的倾斜程度来解决实际问题，达到学以致用的目的.
（三）题组训练、巩固新知
1. 如图， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC=12， tanA= ，则BC＝___.
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C |
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A |
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B |
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12 |
2. 在Rt△ABC中，∠C＝900，过点C作CD⊥AB于D，
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D |
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C |
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A |
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B |
（1）在Rt△ACD中，tanA可以用图中那些线段的比来表示？在Rt△BCD 中，tanB可以用图中那些线段的比来表示？
（2）tanA可以用图中那些线段的比来表示 ？
之前我们由证明三个直角三角形两两相似能得到==，而今天
我们由在不同的直角三角形中表示∠A的正切得到==，方便简洁多
了.所以tanA沟通了直角三角形中的边、角之间的关系，起到了桥梁的作用.
3. 已知斜坡AB的铅直高度为6m，
(1) 若水平宽度为8m，则坡面的坡比为_______;
(2) 若坡比为3：4，则坡面长为_____.
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10 |
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6m |
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C |
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B |
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8m |
【设计说明】 练习题1、3是对基础知识的训练. 练习2在对基础知识巩固的同时，发展了学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步深化.
（四）总结反思、强化新知
一节课下来：
1.你学习了什么知识？
2.你掌握了什么方法？
3.你还有什么想法和疑惑？
2015年