四 种 命 题

教材分析

在初中，学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系（原命题和逆命题）主要来源于几何知识，有很强的几何直观性，便于掌握．高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种命题及四者之间的关系，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此．同时，这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的基础．

这节课的重点是四种命题间的关系．

学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简单几何知识，但是新的知识体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深入，这节课的例题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题．这种处理方式符合学生的认知规律．

教学目标

通过这节课的教与学，应使学生初步理解四种命题及其关系，进而使学生掌握简单的推理技能，发展学生的思维能力．同时，帮助学生从几何推理向代数推理过渡．

任务分析

在这节课的教学过程中，要注意控制教学要求，即只研究比较简单的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题．

这节中“若p则q”形式的命题中的“p”，“q”可以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题．

教学设计

一、问题情境

在以前的数学学习中，有这样的知识：菱形的对角线相互垂直．那么，这一真命题变一下形式是否真命题呢？如：“如果一个四边形对角线相互垂直，那么它是菱形”，再如：“对角线不相互垂直的四边形不是菱形”．这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题”．

二、问题解决

首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：互逆命题、原命题、逆命题．（学生回答，教师补充完整）

例：如果原命题是

（1）同位角相等，两直线平行．

让学生说出它的逆命题．

（2）两直线平行，同位角相等．

再看下面的两个命题：

（3）同位角不相等，两直线不平行．

（4）两直线不平行，同位角不相等．

在命题（1）与命题（3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题．

在命题（1）与命题（4）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题．

换句话说：

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题．

（3）交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题．

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．于是，四种命题的形式就是：

原命题：若p则q．

逆命题：若q则p．

否命题：若非p则非q．

逆否命题：若非q而非p．

下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，任意两个是什么关系？（学生回答，教师补充，最后出示下图）

给出一个命题：“若a＝0，则ab＝0．”让学生写出其他三种命题，并判断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系．

不难发现如下关系：

（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真．

（2）原命题为真，它的否命题不一定为真．

（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．

三、解释应用

［例　题］

1. 把下列命题先改写成“若p则q”的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．

（1）负数的平方是正数．

（2）正方形的四条边相等．

分析：关键是找出原命题的条件p与结论q．

解：（1）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．逆命题为假．

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．否命题为假．

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．逆否命题为真．

（2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．

逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．逆命题为假．

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．否命题为假．

逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．逆否命题为真．

2. 设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．

分析：“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc．

解：逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b．逆命题为真．否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．否命题为真．逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b．逆否命题为真．

［练　习］

1. 命题“若a＞b，则ac²＞bc²，（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（　　）．

A. 3　　　　 　B.2　　　　 　C. 1　　　　　D. 0

（B）

2. 在命题“若抛物线y＝ax²＋bx＋c的开口向下，则｛x｜ax²＋bx＋c＜0｝≠”的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是（　　）．

A. 三命题都真　B. 三命题都假　C. 否命题真　D. 逆否命题真

（D）

四、拓展延伸

在对某一命题的条件和结论否定时，有些问题，学生易出错．例如，对如下词语的否定：“任意的”、“所有的”、“都是”和“全是”等．

下面以“全是”为例进行说明：所谓“否定”，即其对立面，显然“全是”的对立面中除了“全不是”之外，还有“部分也是”这一部分．因此，“全是”的对立面（即否定）应是“不全是”，而不是“全不是”．同样，“任意的”否定应是“某个”，“所有的”否定应是“存在一个”或“存在一些”，“都是”的否定是“不都是”．例如，命题：若x²＋y²＝0，则x，y全是0．其否命题是：若x²＋y²≠0，则x，y不全是0．

点　评

这篇案例涉及两个问题：一个是定义，一个是规律，即四种命题间的关系．为了加深学生的认识，这篇案例突出了“学生参与”，即让学生通过例子认识定义，在活动中自己归纳、总结规律．同时，这篇案例又设计了适量的例题和练习，以巩固学生在课堂活动中掌握的知识．再者，这篇案例中所有例子都十分简单，但又极具有代表性，易于学生接受和理解，这也是学生能积极地参与到课堂活动中去的一个必要条件．

美中不足的是，这篇案例的个别环节对“反例”的运用稍显单薄．