2015年吉林省中考数学试卷
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）（2015•吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（ ）[来源:学#科#网]
A． + B． ﹣ C． × D． ÷
2．（2分）（2015•吉林）购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（ ）
A． （a+b）元 B． 3（a+b）元 C． （3a+b）元 D． （a+3b）元
3．（2分）（2015•吉林）下列计算正确的是（ ）
A． 3a﹣2a=a B． 2a•3a=6a C． a2•a3=a6 D． （3a）2=6a2
4．（2分）（2015•吉林）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）（2015•吉林）如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A． 20° B． 35° C． 40° D． 70°
6．（2分）（2015•吉林）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A． 40° B． 50° C． 80° D． 100°
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）（2015•吉林）不等式3+2x＞5的解集是 ．
8．（3分）（2015•吉林）计算：•= ．
9．（3分）（2015•吉林）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是 （写出一个即可）．
10．（3分）（2015•吉林）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
11．（3分）（2015•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，点E、F分别是边BC、AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为 cm．
12．（3分）（2015•吉林）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ．
13．（3分）（2015•吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m．
14．（3分）（2015•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 cm．
三、解答题（每小题5分，满分20分）
15．（5分）（2015•吉林）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+2（x2+4），其中x=．
16．（5分）（2015•吉林）根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．
17．（5分）（2015•吉林）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4和5，从两个口袋中各随机取出1个小球．用画树状图或列表的方法，求取出的2个小球上的数字之和为6的概率．[来源:学科网]
18．（5分）（2015•吉林）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF=BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG=DC．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）（2015•吉林）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
20．（7分）（2015•吉林）要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．
（1）已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；
（2）观察图形，直接写出甲，乙这10次射击成绩的方差s甲2，
s乙2哪个大；
（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选 参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选 参赛更合适．
21．（7分）（2015•吉林）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；
（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
22．（7分）（2015•吉林）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量有两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出每分进水，出水各多少升．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）（2015•吉林）如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y=（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
24．（8分）（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）（2015•吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）当点C落在边EF上时，x= cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．
26．（10分）（2015•吉林）如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．
（1）当m=﹣1，n=4时，k= ，b= ；
当m=﹣2，n=3时，k= ，b= ；
（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：
如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．
①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；
②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为 ；
当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．
2015年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．（2分）（2015•吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（ ）
A． + B． ﹣ C． × D． ÷
考点： 有理数的减法；有理数的加法；有理数的乘法；有理数的除法．版权所有
分析： 根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
解答： 解：∵0﹣1=﹣1，
∴□内的运算符号为﹣．
故选B．
点评： 本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
2．（2分）（2015•吉林）购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（ ）
A． （a+b）元 B． 3（a+b）元 C． （3a+b）元 D． （a+3b）元
考点： 列代数式．版权所有
分析： 求用买1个面包和2瓶饮料所用的钱数，用1个面包的总价+三瓶饮料的单价即可．
解答： 解：买1个面包和3瓶饮料所用的钱数：a+3b元；
故选D．
点评： 此题考查列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
3．（2分）（2015•吉林）下列计算正确的是（ ）
A． 3a﹣2a=a B． 2a•3a=6a C． a2•a3=a6 D． （3a）2=6a2
考点： 单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有
分析： 根据合并同类项，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，即可解答．
解答： 解：A、正确；
B、2a•3a=6a2，故错误；
C、a2•a3=a5，故错误；
D、（3a）2=9a2，故错误；
故选：A．
点评： 本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，解决本题的关键是熟记合并同类项，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，积的乘方的法则．
4．（2分）（2015•吉林）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 几何体的展开图．版权所有
分析： 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
解答： 解：观察图形可知，一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是．
故选：B．
点评： 考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
5．（2分）（2015•吉林）如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A． 20° B． 35° C． 40° D． 70°
考点： 平行线的性质；等腰三角形的性质．版权所有
分析： 先根据平行线的性质求出∠ACD的度数，再由AD=CD得出∠DAC的度数，由三角形内角和定理即可得出∠2的度数．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠1=70°．
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD=70°，
∴∠2=180°﹣∠DAC﹣∠ACD=180°﹣70°﹣70°=40°．
故选C．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两线平行，同位角相等．
6．（2分）（2015•吉林）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A． 40° B． 50° C． 80° D． 100°
考点： 切线的性质．版权所有
分析： 根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
解答： 解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°，
故选C．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．（3分）（2015•吉林）不等式3+2x＞5的解集是 x＞1 ．
考点： 解一元一次不等式．版权所有
分析： 根据解不等式的一般步骤：移项，合并同类项，系数化1，得出即可．
解答： 解：移项，得：2x＞5﹣3，
即2x＞2，
系数化1，得：x＞1．
不等式组的解集为：x＞1．
故答案为：x＞1．
点评： 此题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
8．（3分）（2015•吉林）计算：•= x+y ．
考点： 分式的乘除法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式变形后，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=•
=x+y．
故答案为：x+y．
点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）（2015•吉林）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是 0 （写出一个即可）．
考点： 根的判别式．版权所有
专题： 开放型．
分析： 若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
解答： 解：∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=1﹣4m＞0，
解得m＜，
故m的值可能是0，
故答案为0．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足m＜即可．
10．（3分）（2015•吉林）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
考点： 对顶角、邻补角．版权所有
专题： 应用题．
分析： 由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．[来源:Z|xx|k.Com]
解答： 解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等．
点评： 本题考查了对顶角的定义、性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
11．（3分）（2015•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，点E、F分别是边BC、AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为 6 cm．
考点： 翻折变换（折叠问题）．版权所有
分析： 根据矩形的性质和折叠的性质，由C′E⊥AD，可得四边形ABEG和四边形C′D′FG是矩形，根据矩形的性质可得EG和FG的长，再根据勾股定理可得EF的长．
解答： 解：如图所示：
∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处，C′E⊥AD，
∴四边形ABEG和四边形C′D′FG是矩形，
∴EG=FG=AB=6cm，
∴在Rt△EGF中，EF==6cm．
故答案为：6cm．
点评： 考查了翻折变换（折叠问题），矩形的判定和性质，勾股定理，根据关键是得到EG和FG的长．
12．（3分）（2015•吉林）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 （4，4） ．
考点： 菱形的性质；坐标与图形性质．版权所有
分析： 连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标．
解答： 解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD=2，BD=8，
∴AE=OD=2，DE=4，
∴AC=4，
∴点C的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
点评： 本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13．（3分）（2015•吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 12 m．
考点： 相似三角形的应用．版权所有
专题： 应用题．
分析： 先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
解答： 解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，
∵BE=1.5，AB=2，BC=14，
∴AC=16，
∴=，
∴CD=12．
故答案为：12．
点评： 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
14．（3分）（2015•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 42 cm．
考点： 旋转的性质．版权所有
分析： 根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，可得△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，BD=BC=12cm，从而得到△BCD为等边三角形，得到CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB=13，所以△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD，即可解答．
解答： 解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=CD=12cm，
在Rt△ACB中，AB==13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），
故答案为：42．
点评： 本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边．
三、解答题（每小题5分，满分20分）
15．（5分）（2015•吉林）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+2（x2+4），其中x=．
考点： 整式的混合运算—化简求值．版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=x2﹣9+2x2+8=3x2﹣1，
当x=时，原式=6﹣1=5．
点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（5分）（2015•吉林）根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．
[来源:学科网]
考点： 二元一次方程组的应用．版权所有
分析： 设梅花鹿的高度是xm，长颈鹿的高度是ym，根据长颈鹿的高度比梅花鹿的3倍还多1和梅花鹿的高度加上4正好等于长颈鹿的高度，列出方程组，求解即可．
解答： 解：设梅花鹿的高度是xm，长颈鹿的高度是ym，
根据题意得：，
解得：，
答：梅花鹿的高度是1.5m，长颈鹿的高度是5.5m．
点评： 此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
17．（5分）（2015•吉林）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4和5，从两个口袋中各随机取出1个小球．用画树状图或列表的方法，求取出的2个小球上的数字之和为6的概率．
考点： 列表法与树状图法．版权所有
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的2个小球上的数字之和为6的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：
∵共有6种情况，取出的2个小球上的数字之和为6的有2种情况，
∴取出的2个小球上的数字之和为6的概率为：=．
点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（5分）（2015•吉林）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF=BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG=DC．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权所有
专题： 证明题．
分析： 先根据平行四边形的性质得到∠B=∠D，AB=CD，再利用垂直的定义得∠AEB=∠GFD=90°，于是可根据“ASA”判定△AEB≌△GFD，根据全等的性质得AB=DC，所以有DG=DC．
解答： 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∵AE⊥BC，FG⊥CD，
∴∠AEB=∠GFD=90°，
在△AEB和△GFD中，
，
∴△AEB≌△GFD，
∴AB=DC，
∴DG=DC．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平行四边形的性质．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）（2015•吉林）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
考点： 作图—应用与设计作图．版权所有
分析： （1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为的等腰三角形即可；
（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为的正方形；
（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．
解答： 解：（1）如图①，符合条件的C点有5个：
；
（2）如图②，正方形ABCD即为满足条件的图形：
；
（3）如图③，边长为的正方形ABCD的面积最大．
．
点评： 本题考查了作图﹣应用与设计作图．熟记勾股定理，等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．
20．（7分）（2015•吉林）要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．
（1）已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；
（2）观察图形，直接写出甲，乙这10次射击成绩的方差s甲2，
s乙2哪个大；
（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选 乙 参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选 甲 参赛更合适．
考点： 方差；折线统计图；算术平均数．版权所有
分析： （1）根据平均数的计算公式和折线统计图给出的数据即可得出答案；
（2）根据图形波动的大小可直接得出答案；
（3）根据射击成绩都在7环左右的多少可得出甲参赛更合适；根据射击成绩都在9环左右的多少可得出乙参赛更合适．
解答： 解：（1）乙的平均成绩是：（8+9+8+8+7+8+9+8+8+7）÷10=8（环）；
（2）根据图象可知：甲的波动小于乙的波动，则s甲2＞s乙2；
（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．
故答案为：乙，甲．
点评： 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
21．（7分）（2015•吉林）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；
（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．版权所有
分析： （1）根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA•sin∠PAC=80，再解Rt△PBC，得出PB=PC=1.41×80≈113；
（2）由∠CBP=45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．
解答： 解：（1）如图，作PC⊥AB于C，
在Rt△PAC中，∵PA=100，∠PAC=53°，
∴PC=PA•sin∠PAC=100×0.80=80，
在Rt△PBC中，∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=PC=1.41×80≈113，
即B处与灯塔P的距离约为113海里；
（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，
∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，直角三角形，锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
22．（7分）（2015•吉林）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量有两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出每分进水，出水各多少升．
[来源:学.科.网]
考点： 一次函数的应用．版权所有
分析： （1）用待定系数法求对应的函数关系式；
（2）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解．
解答： 解：（1）设当4≤x≤12时的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴，
解得：，
∴y=x+15 （4≤x≤12）；
（2）根据图象，每分钟进水20÷4=5升，
设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m=30﹣20，
解得：m=．
故每分钟进水、出水各是5升、升．
点评： 此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）（2015•吉林）如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y=（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有
分析： （1）根据点A和点E的坐标求得直线AE的解析式，然后设出点D的纵坐标，代入直线AE的解析式即可求得点D的坐标，从而求得k值；
（2）根据中心对称的性质得到阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积即可．
解答： 解：（1）∵A（3，5）、E（﹣2，0），
∴设直线AE的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线AE的解析式为y=x+2，
∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，
∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），
∵CD∥y轴，
∴设点D的坐标为（﹣3，a），
∴a=﹣3+2=﹣1，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
∵反比例函数y=（0＜k＜15）的图象经过点D，
∴k=﹣3×（﹣1）=3；
（2）如图：
∵点A和点C关于原点对称，
∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，
∴S阴影=4×3=12．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是能够确定点D的坐标，难度不大．
24．（8分）（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
考点： 圆的综合题．版权所有
分析： （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果即可；
（2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案．
解答： （1）S扇环=（l1﹣l2）h，
证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=，得R=，r=
所以图中扇环的面积S=×l1×R﹣×l2×r
=l1•﹣l2•
=（l12﹣l22）
=（l1+l2）（l1﹣l2）
=••（R﹣r）（l1﹣l2）
=（l1﹣l2）（R﹣r）
=（l1+l2）h，
故猜想正确．
（2）解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h，
则S扇环=（l1+l2）h
=（40﹣2h）h
=﹣h2+20h
=﹣（h﹣10）2+100
∵﹣1＜0，
∴开口向下，有最大值，
当h=10时，最大值是100，
即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m2．
点评： 本题主要考查了扇形面积公式，弧长公式，二次函数的顶点式的应用，能猜想出正确结论是解此题的关键，有一定的难度．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）（2015•吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）当点C落在边EF上时，x= 15 cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．
考点： 几何变换综合题．版权所有
分析： （1）根据锐角三角函数，可得BG的长，根据线段的和差，可得GE的长，根据矩形的性质，可得答案；
（2）分类讨论：①当0≤t＜6时，根据三角形的面积公式，可得答案；②当6≤t＜12时，③当12＜t≤15时，根据面积的和差，可得答案；
（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M在线段NG上，根据三角形的中位线，可得NG的长，根据锐角三角函数，可得MG的长，根据线段的和差，可得答案．
解答： 解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点．，
在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得
BC==6．
在Rt△BCG中，BG=BC•cos30°=9．
四边形CGEH是矩形，
CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，
故答案为：15；
（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．，
∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得
DG=x，BG=x，重叠部分的面积为y=DG•BG=×x×x=x2
②当6≤x＜12时，如图3所示．，
BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．
重叠部分的面积为y=S△BDG﹣S△BEH=DG•BG﹣BE•EH，
即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）
化简，得y=﹣x2+2x﹣6；
③当12＜x≤15时，如图4所示．，
AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），
重叠部分的面积为y=S△ABC﹣S△BEG=AC•BC﹣BE•EG，
即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），
化简，得y=18﹣（x2﹣12x+36）=﹣x2+2x+12；
综上所述：y=；
（3）如图5所示作NG⊥DE于G点．，
点M在NG上时MN最短，
NG是△DEF的中位线，
NG=EF=．
MB=CB=3，∠B=30°，
MG=MB=，
MN最小=3﹣=．
点评： 本题考查了几何变换综合题，（1）利用了锐角三角函数，矩形的性质；（2）利用面积的和差，分类讨论时解题关键，以防遗漏；（3）利用了垂线段最短的性质，三角形的中位线定理，锐角三角函数．
26．（10分）（2015•吉林）如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．
（1）当m=﹣1，n=4时，k= 3 ，b= 4 ；
当m=﹣2，n=3时，k= 1 ，b= 6 ；
（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：
如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．
①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；
②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为 n=﹣2m ；
当四边形AOED为正方形时，m= ﹣1 ，n= 2 ．
考点： 二次函数综合题．版权所有
专题： 综合题．
分析： （1）根据二次函数图象上点的坐标特征，由当m=﹣1，n=4得A（﹣1，1），B（4，16），然后利用待定系数法求出直线AB的解析式即可得到k和b的值；当m=﹣2，n=3时，用同样的方法求解；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到A（m，m2），B（n，n2），把它们分别代入y=kx+b得，然后解关于k、b的方程组即可得到k=m+n，b=﹣mn；
（3）①当m=﹣3时，A（﹣3，9），根据y轴对称的点的坐标特征得E（3，9），再由（2）的结论得k=m+n，b=﹣mn，则直线AB的解析式为y=（﹣3+n）x+3n，接着求出D（0，3n），C（，0），然后根据三角形面积公式可计算出的值；
②连结AE交OD于P，如图②，点A（m，m2）关于y轴的对称点E的坐标为（﹣m，m2），则OP=m2，由于k=m+n，b=﹣mn，则D（0，﹣mn）；若四边形AOED为菱形，根据菱形的性质OP=DP，即﹣mn=2m2，可解得n=﹣2m；若四边形AOED为正方形，根据正方形的性质得OP=AP=OP=PD，易得m=﹣1，n=2．
解答： 解：（1）当x=﹣1时，y=x2=1，则A（﹣1，1）；当x=4时，y=x2=16，则B（4，16），
把A（﹣1，1）、B（4，16）分别代入y=kx+b得，解得；
当x=﹣2时，y=x2=4，则A（﹣2，4）；当x=3时，y=x2=9，则B（3，9），
把A（﹣2，4）、B（3，9）分别代入y=kx+b得，解得；
故答案为：3，4；1，6；
（2）k=m+n，b=﹣mn．理由如下：
把A（m，m2），B（n，n2）代入y=kx+b得，解得；
（3）①当m=﹣3时，A（﹣3，9），
∵点A关于y轴的对称点为点E，
∴E（3，9），
∵k=m+n，b=﹣mn，
∴k=﹣3+n，b=3n，
∴直线AB的解析式为y=（﹣3+n）x+3n，则D（0，3n），
当y=0时，（﹣3+n）x+3n=0，解得x=，则C（，0），
∴==（n＞3）；
②连结AE交OD于P，如图②，
∵点A（m，m2）关于y轴的对称点为点E，
∴E（﹣m，m2），
∴OP=m2，
∵k=m+n，b=﹣mn，
∴D（0，﹣mn），
若四边形AOED为菱形，则OP=DP，即﹣mn=2m2，所以n=﹣2m；
若四边形AOED为正方形，则OP=AP，即﹣m=m2，解得m=﹣1，所以n=﹣2m=2．
点评： 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和菱形、正方形的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质；记住三角形的面积公式．
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2015年