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数列中特征方程解决数列的相关问题

  发布者:苏明美    所属单位:北京师范大学(珠海)附属高级中学    发布时间:2015-12-02    浏览数( -) 【举报】

数列中特征方程解决数列的相关问题

——数列中不动点的应用

在高中,对于数列我们只是对等比和等差数列,进行系统的学习,然而在有些考题中,对数列的考查则是在数列构造上,通过构造数列化归到我们熟悉的等比等差数列。特征方程在数学中应用很广,高等数学中的微分方程以及其他学科都有其出现,就数列而言,利用特征方程和不动点,构造等比数列(等差数列),解决数列问题,为学生提供了更快捷的思路对于相关数列题目。

 

 

牛顿说一个好例子胜过十条定理,那么就先分析三种形式的关于数列的题设的四种情况。

1.当d=0时,,即

即其特征方程为 ,属于一次型方程。

注解  其中把叫做其的特征函数,2,3中类似。

2.当d≠0时,的特征方程为,属于分式型方程。

注解  上述分式通过变形可以表示成二次型方程,,与第3种情况相近,但和第4种条件有本质区别

型(b0

3 . 上述类型的特征方程为 ,属于分式型方程

     

 

4.上述类型的特征方程为 ,属于二次型方程

 

 

针对前三种情况而言,先简绍一个概念,不动点

在数学中是指"被这个函数映射到其自身一个点"。即函数x的取值称之为不动点,具体展开讲,对于高中生有些难以接受,知道最基本的概念就好。

 

前三种情况说的概括一点已知,是数列的一种递推关系,对于数列而言,引进一个极限想法,在无穷远处,数列的是一致的,当然这种情况的认定要基于数列不属于类似的数列,要求数列收敛或单调发散。

在无穷远处认为是一个量x,即就能得到

先讨论第一种情况,

1.当d=0时,,即

假设我们已认准目标,是构造等比数列

,整理后

,易解得,得到这个值,很容易知道,这个值就是其特征方程为 的根。

所以对于这种类型,我们构造的是以k为公比的等比数列

2.当d≠0时,

    ⑴ 假设它的特征方程为有两个不同根, ,即其特征函数有两个不同的不动点,把 带入,有

                      

    进一步整理有       

     由第1种情况,启发我们对进行观察

把②带入③中有

最终整理有,

注意到两式分母相同,即有两式作比

所以对于存在两个不动点这种类型,我们构造的是以为公比的等比数列

⑵假设它的特征方程为有两个相同的根,,即其特征函数有一个不动点,把,带入,有  

同理,对观察,最后整理有

      这与第⑴种情况讨论基本一致,关键在于面对这样的分式,怎么化归到我们熟悉的等比或者等差数列。

      构造等比数列显然是不实际的事,分离常量,想着去构造一个等差数列,就此事来看,右边会出现一个关于的分式,并没有的分式出现,鉴于这种情况,去倒数后分离参数应该是一个应该是一个很有效的途径。

     

     其中由韦达定理 带入上式

所以对于存在一个不动点这种类型,我们构造的是以为公差的等差数列

型(b0

3.对于这种类型和第二种情况的讨论方法一致,结论有差异,这是其他书籍中提出一种特殊形式,限定了前的系数,用处不多,就当是对方法的再次练习,

注解   对于其他系数形式能否应用特征方程,要因题而异

有两条结论

⑴假设该特征方程有两相同实根,代入

同时有

带入,易得

⑵假设该特征方程有两不同实根,结论如下,(推导略)

4.为了方面书写我们先讨论系数a1的情况。

⑴假设特征方程有两不同实根,由韦达定理可得:

合理拼凑后        

⑵假设特征方程有两相同实根,就是令

构造出的是以k为公比的等比数列

 

 

 

关于这部分,再附上12道练习题

1.     已知数列满足,求通项公式

2.     已知数列满足,求通项公式

3.     已知数列满足,求通项公式

4.     已知数列满足,求通项公式

5.     已知数列满足,求通项公式

6.     已知数列满足,求通项公式

7.     已知数列满足,求通项公式

8.     已知数列满足,求通项公式

9.     已知数列满足,求通项公式

10.  已知数列满足,求通项公式

11.  已知数列满足,求通项公式

12.  已知数列满足,求通项公式

 

附件

  • 数列中特征方程解决数列的相关问题.doc  下载

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