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数列中特征方程解决数列的相关问题

——数列中不动点的应用

在高中，对于数列我们只是对等比和等差数列，进行系统的学习，然而在有些考题中，对数列的考查则是在数列构造上，通过构造数列化归到我们熟悉的等比等差数列。特征方程在数学中应用很广，高等数学中的微分方程以及其他学科都有其出现，就数列而言，利用特征方程和不动点，构造等比数列（等差数列），解决数列问题，为学生提供了更快捷的思路对于相关数列题目。

牛顿说一个好例子胜过十条定理，那么就先分析三种形式的关于数列的题设的四种情况。

型

1.当d=0时，，即

即其特征方程为 ，属于一次型方程。

注解  其中把叫做其的特征函数，2,3中类似。

2.当d≠0时，的特征方程为，属于分式型方程。

注解  上述分式通过变形可以表示成二次型方程，，与第3种情况相近，但和第4种条件有本质区别

型（b≠0）

3 . 上述类型的特征方程为 ，属于分式型方程

型 

4．上述类型的特征方程为 ，属于二次型方程

针对前三种情况而言，先简绍一个概念，不动点

在数学中是指"被这个函数映射到其自身一个点"。即函数，x的取值称之为不动点，具体展开讲，对于高中生有些难以接受，知道最基本的概念就好。

前三种情况说的概括一点已知，是数列的一种递推关系，对于数列而言，引进一个极限想法，在无穷远处，数列的和是一致的，当然这种情况的认定要基于数列不属于类似，的数列，要求数列收敛或单调发散。

和在无穷远处认为是一个量x，即就能得到

先讨论第一种情况，

型

1.当d=0时，，即

假设我们已认准目标，是构造等比数列

，整理后

与，易解得，得到这个值，很容易知道，这个值就是其特征方程为 的根。

所以对于这种类型，我们构造的是以k为公比的等比数列

2.当d≠0时，

    ⑴ 假设它的特征方程为有两个不同根， ，，即其特征函数有两个不同的不动点，把 ，带入，有

                      ①

    进一步整理有       ②

     由第1种情况，启发我们对，进行观察

③

把②带入③中有

最终整理有，

注意到两式分母相同，即有两式作比

所以对于存在两个不动点这种类型，我们构造的是以为公比的等比数列。

⑵假设它的特征方程为有两个相同的根，，即其特征函数有一个不动点，把，带入，有  ，

同理，对观察，最后整理有

      这与第⑴种情况讨论基本一致，关键在于面对这样的分式，怎么化归到我们熟悉的等比或者等差数列。

      构造等比数列显然是不实际的事，分离常量，想着去构造一个等差数列，就此事来看，右边会出现一个关于的分式，并没有的分式出现，鉴于这种情况，去倒数后分离参数应该是一个应该是一个很有效的途径。

     其中由韦达定理 带入上式

所以对于存在一个不动点这种类型，我们构造的是以为公差的等差数列

型（b≠0）

3．对于这种类型和第二种情况的讨论方法一致，结论有差异，这是其他书籍中提出一种特殊形式，限定了前的系数，用处不多，就当是对方法的再次练习，

注解   对于其他系数形式能否应用特征方程，要因题而异

有两条结论

⑴假设该特征方程有两相同实根，代入有

同时有

将带入，易得

⑵假设该特征方程有两不同实根，结论如下，（推导略）

4．为了方面书写我们先讨论系数a为1的情况。

⑴假设特征方程有两不同实根，由韦达定理可得：

即

合理拼凑后       或 

⑵假设特征方程有两相同实根，就是令

构造出的是以k为公比的等比数列

关于这部分，再附上12道练习题

1.     已知数列满足，求通项公式

2.     已知数列满足，求通项公式

3.     已知数列满足，求通项公式

4.     已知数列满足，求通项公式

5.     已知数列满足，求通项公式

6.     已知数列满足，求通项公式

7.     已知数列满足，求通项公式

8.     已知数列满足，求通项公式

9.     已知数列满足，求通项公式

10.  已知数列满足，求通项公式

11.  已知数列满足，求通项公式

12.  已知数列满足，求通项公式