发布者:苏明美 所属单位:北京师范大学(珠海)附属高级中学 发布时间:2015-12-02 浏览数( -) 【举报】
数列中特征方程解决数列的相关问题
——数列中不动点的应用
在高中,对于数列我们只是对等比和等差数列,进行系统的学习,然而在有些考题中,对数列的考查则是在数列构造上,通过构造数列化归到我们熟悉的等比等差数列。特征方程在数学中应用很广,高等数学中的微分方程以及其他学科都有其出现,就数列而言,利用特征方程和不动点,构造等比数列(等差数列),解决数列问题,为学生提供了更快捷的思路对于相关数列题目。
牛顿说一个好例子胜过十条定理,那么就先分析三种形式的关于数列的题设的四种情况。
型
1.当d=0时,,即
即其特征方程为 ,属于一次型方程。
注解 其中把叫做其的特征函数,2,3中类似。
2.当d≠0时,的特征方程为
,属于分式型方程。
注解 上述分式通过变形可以表示成二次型方程,,与第3种情况相近,但和第4种条件有本质区别
型(b≠0)
3 . 上述类型的特征方程为 ,属于分式型方程
型
4.上述类型的特征方程为 ,属于二次型方程
针对前三种情况而言,先简绍一个概念,不动点
在数学中是指"被这个函数映射到其自身一个点"。即函数,x的取值称之为不动点,具体展开讲,对于高中生有些难以接受,知道最基本的概念就好。
前三种情况说的概括一点已知,是数列的一种递推关系,对于数列而言,引进一个极限想法,在无穷远处,数列的
和
是一致的,当然这种情况的认定要基于数列不属于类似
,
的数列,要求数列收敛或单调发散。
和
在无穷远处认为是一个量x,即就能得到
先讨论第一种情况,
型
1.当d=0时,,即
假设我们已认准目标,是构造等比数列
,整理后
与
,易解得
,得到这个值,很容易知道,这个值就是其特征方程为
的根。
所以对于这种类型,我们构造的是以k为公比的等比数列
2.当d≠0时,
⑴ 假设它的特征方程为有两个不同根,
,
,即其特征函数有两个不同的不动点,把
,
带入
,有
①
进一步整理有 ②
由第1种情况,启发我们对,
进行观察
③
把②带入③中有
最终整理有,
注意到两式分母相同,即有两式作比
所以对于存在两个不动点这种类型,我们构造的是以
为公比的等比数列
。
⑵假设它的特征方程为有两个相同的根,
,即其特征函数有一个不动点,把
,带入
,有
,
同理,对观察,最后整理有
这与第⑴种情况讨论基本一致,关键在于面对这样的分式,怎么化归到我们熟悉的等比或者等差数列。
构造等比数列显然是不实际的事,分离常量,想着去构造一个等差数列,就此事来看,右边会出现一个关于的分式,并没有
的分式出现,鉴于这种情况,去倒数后分离参数应该是一个应该是一个很有效的途径。
其中由韦达定理 带入上式
所以对于存在一个不动点这种类型,我们构造的是以
为公差的等差数列
型(b≠0)
3.对于这种类型和第二种情况的讨论方法一致,结论有差异,这是其他书籍中提出一种特殊形式,限定了前的系数,用处不多,就当是对方法的再次练习,
注解 对于其他系数形式能否应用特征方程,要因题而异
有两条结论
⑴假设该特征方程有两相同实根,代入
有
同时有
将带入,易得
⑵假设该特征方程有两不同实根,结论如下,(推导略)
4.为了方面书写我们先讨论系数a为1的情况。
⑴假设特征方程有两不同实根,由韦达定理可得:
即
合理拼凑后 或
⑵假设特征方程有两相同实根,就是令
构造出的是以k为公比的等比数列
关于这部分,再附上12道练习题
1. 已知数列满足
,求通项公式
2. 已知数列满足
,求通项公式
3. 已知数列满足
,求通项公式
4. 已知数列满足
,求通项公式
5. 已知数列满足
,求通项公式
6. 已知数列满足,
求通项公式
7. 已知数列满足,
求通项公式
8. 已知数列满足
,求通项公式
9. 已知数列满足
,求通项公式
10. 已知数列满足
,求通项公式
11. 已知数列满足
,求通项公式
12. 已知数列满足
,求通项公式
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