等比数列
发布者：韩新立 所属单位：珠海市第一中学 发布时间：2015-12-02 浏览数：0
等比数列
知识目标：
1.理解等比数列的概念；
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系．
4.了解等比数列与指数函数的关系.
基础知识梳理框图
SHAPE \* MERGEFORMAT
等比数列
定义式：与 的关系
通项公式：
求和
公式
a,b的等比中项G= .
性质
若 ，则
成 数列
判断与证明
当 时，
当 时，
典型例题
考点1 等比数列的判定和证明
【典例1】数列
的前
项和为
，若
，
.
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）并求数列的通项公式.
（1）证明：
，故
，
∴
，
，
∴
，即
．
又
，
∴数列
为等比数列，首项为
，公比为
．
（2）解：由（1）知，
．
∴
．
变式1 在数列
中，
.
（1）证明数列
是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
（1）证明：
，故
，
又∵
，∴数列
为等比数列．
（2）解：由（1）知，
，∴
考点2 等比数列的通项和求和公式
【典例2】等比数列
满足：
，
，且公比
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若该数列前项和
，求的值.
解：（1）
，又
，
∴
或
又
，∴
，
，
，
∴
．
（2）
，解得
．
变式2 （2013年天津）已知首项为
的等比数列
的前项和为
（
），且
，
，
成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：
（）．
（1）解：设等比数列
的公比为q，由题意
，
∴
，
∴
，∴
，
．
（2）证明：
=1-
，
∴
为奇数时，
递减，∴
；
为偶数时，递减，∴
．
∴，有．
考点3 等比数列的性质的应用
典例3（1）在等比数列中，已知
，
， 
= .
（2）已知各项均为正数的等比数列，
，
，则
____
（3）在等比数列
中，
，
，则
.
（1）
；（2）
；（3）63
变式3【2012高考安徽】公比为2的等比数列{
} 的各项都是正数，且 
=16，则
=（
A ）
A. 1 B.2 C. 4 D. 8
专项测试
1.（2013江西）等比数列
，
，
，…的第四项等于（ A ）
A．
B．0 C．12 D．24
2.（2012安徽）公比为2的等比数列的各项都是正数，且
，则
（ A ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3.（2013北京）若等比数列满足
，
，则公比
2 ；前项和
．
4.（2013辽宁）已知等比数列是递增数列，是的前项和，若
，
是方程
的两个根，则
63 ．
5.（2012广东）若等比数列满足
，则
．
6．在等比数列中，如果公比
，那么等比数列是( D )．
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性
7.已知等比数列
的公比为正数，且
=2
，
=2，则
=（ C ）
A.
B.
C.
D.2
8. （2012大纲全国）已知数列的前项和为，
，
，则（B ）
A．
B．
C．
D．
9.（2013新课标II）等比数列的前项和为，已知
，
，则
（ C）
A．
B．
C．
D．
10.
等比数列{
}中，
，则
=（ A ）
A．9 B．
C．
D．
11．（2012北京）已知为等比数列，下面结论中正确的是（B ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
12.
设是有正数组成的等比数列，为其前项和,已知
,
,则
（B ）
A.
B.
C.
D.
提高题
1.在等比数列中，若
，
，则公比 2 ．
2.在等比数列{an}中，若a1＝eq \f(1,2)，a4＝－4，则公比q＝________；
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
；
3.（2012江西）等比数列的前项和为，公比不为1．若，则对任意的
，都有
，则
11 ．
4.已知数列满足，
，
，．
（1）令
，证明：
是等比数列；（2）若
是的前n项和，求证
1.
（1）证明：
，
且
，
∴数列为等比数列．
（2）由（1）得
=
=
=
当
时，<
,
当
时，
=1.
所以1.
挑战题
1.已知数列满足
=1，
.
（Ⅰ）证明
是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：
（I）由得
。
又
，所以
是首项为，公比为3的等比数列。
，因此的通项公式为
.
（Ⅱ）由（I）知
， 因为当
时，
，所以
。
于是
。
所以 
2，已知是递增的等差数列，
，
是方程
的根。
（ = 1 \* ROMAN \*
MERGEFORMAT I）求的通项公式；
（ = 2 \* ROMAN \*
MERGEFORMAT II）求数列
的前项和.
解：（I）方程的两根为2,3，由题意得
设数列的公差为d，则
故
从而
所以的通项公式为
,
（II）设的前n项和为
由（I）知
则
两式相减得
所以
3，设数列的前项和为
已知
（I）设
，证明数列
是等比数列
（II）求数列的通项公式。
解：（I）由及，有
由，．．．① 则当
时，有
．．．．．②
②－①得
又
，
是首项
，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得
，
数列
是首项为
，公差为
的等比数列．
，
4，已知数列中，
，前项和
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求的通项公式．
解：（1）由与可得
，
故所求的值分别为
。
（2）当时，① 
②
①－②可得
即
故有
而
，所以的通项公式为