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等差数列与等比数列的综合

学习目标

等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．

基础知识梳理

1、等差数列的性质

（1），；

（2）在等差数列中，若，则               ，若，则                ；

（3）若，为等差数列，公差分别为，则数列，，为      数列；

（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，，，…为等差数列，公差为          ；

（5）等差数列的前项和为S_n，则S_n,S_2n-S_n,S_3n-S_2n,…也为等差数列，公差为          ；

（6）通项公式是是一次函数的形式；前项和公式是不含常数项的二次函数的形式。（注当时，S _n=na₁, a _n=a₁）

（7）若，，有最        值，可由不等式组来确定；

若，，有最         值，可由不等式组来确定．

2、等比数列的性质

（1）；

（2）在等比数列中，若，则          ；若，则           ；

（3）若，均为等比数列，且公比分别为，，则数列，，，，也为等比数列，且公比分别为                 ；

（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，，，…为等比数列，公比为       ；

(5)等比数列的前n项和为S_n，则，，，…也为等比数列，公比为      ．

典型例题

考点1  性质的综合应用

【典例1】数列的前n项和记为，

(1)     求数列的通项公式；

(2)     等差数列的各项为正，其前n项和为，且，又成等比数列，求．

（1）；（2）.

【变式1】已知等差数列的公差，它的第1、5、17项成等比数列，

则这个等比数列的公比是     3    

考点2   求数列通项及前n项和

【典例2】等比数列的前项和S_n，公比，已知1是和的等差中项，6是和的等比中项．

（1）求和的值；

（2）求此数列的通项公式；

（3）求此数列的前n项和．

（1）；（2）；（3）.

【变式2】已知数列为等差数列，且，为等比数列，数列的前三项依次为3,7,13.求：(1)数列，的通项公式；

(2)数列的前项和.

（1）.

（2）.

考点3  数列与解析几何、不等式的综合应用

【典例3】设曲线处的切线为，数列的首项（其中常数m为正奇数），且对任意，点均在直线上。

（1）    求出的通项公式；

（2）    令，当恒成立时，求出n的取值范围，使得。

（1）；（2）.

【变式3】已知数列的前n项和为，对一切正整数n，点（S_n，n）都在函数的图象上.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项的和T_n.

（1）；（2）.

专项测试

1．设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，已知3S₃＝a₄－2,3S₂＝a₃－2，则公比q＝(  B)．

A．3                   B．4                C．5                 D．6

2．在等比数列{a_n}中，如果a₁＋a₂＝40，a₃＋a₄＝60，那么a₇＋a₈＝( A )．

A．135               B．100            C．95               D．80

3.已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若S₁＝1，eq \f(S₄,S₂)＝4，则eq \f(S₆,S₄)的值为( A )

A.eq \f(9,4)                             B.eq \f(3,2)                    C.eq \f(5,3)                           D．4

4.已知等比数列{a_n}的前n项和S_n＝t·5^n－2－eq \f(1,5)，则实数t的值为( B )．

A．4                          B．5                C.eq \f(4,5)                           D.eq \f(1,5)

5．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有   13     项；

6.已知数列是等比数列,且,,，则  9    ．

7.等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是  210     ．

8.等比数列的前项和为，， 若成等差数列，则（ D  ）       

A． 7         B． 8       C． 16       D．15

5.设等差数列的公差若是与的等比中项，则k=   3    .

9.数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（  C ）

     A．                    B.                   C. 或          D.

10.等差数列中，，且，，成等比数列，则（  B   ）

A．      B.             C.            D.

11.已知数列满足：，那么使成立的的最大值为（  C ）

A．4           B.5         C.24       D. 25

12.已知数列{}，若点  （）在经过点的定直线上，则数列{}的前9项和=( D  )

A. 9                  B. 10                   C. 18                 D.27

提高题

1.等差数列中，则则    24         ，若数列 为等比数列，其前n项和，若对任意，点均在函数为常数）图象上，则r=    -1     .

1.已知数列的前项和是，且 ．

 （1）求数列的通项公式；

 （2）记，求数列的前项和 ．

(1)；（2）；

2.（2013山东理）设等差数列的前n项和为,且,.

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列的前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.

（1）；（2）.

3.数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2,a₁=2,等比数列{b_n}满足b₁=a₁,b₄=a₈.

(1)求数列{a_n},{b_n}的通项公式;

(2)设c_n=a_nb_n,求数列{c_n}的前n项和T_n.

解:(1)a_n+1-a_n=2,a₁=2,所以数列{a_n}为等差数列,

则a_n=2+(n-1)×2=2n,b₁=a₁=2,b₄=a₈=16,

所以q³= QUOTE  =8,q=2,则b_n=2ⁿ.

(2)c_n=a_nb_n=n·2ⁿ⁺¹,则T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n·2ⁿ⁺¹,

2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n·2ⁿ⁺²,

两式相减得-T_n=1×2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n·2ⁿ⁺²,整理得T_n=(n-1)2ⁿ⁺²+4.

4.在正项数列{a_n}中,a₁=2,点A_n( QUOTE  , QUOTE  )在双曲线y²-x²=1上,数列{b_n}中,点(b_n,T_n)在直线y=- QUOTE  x+1上,其中T_n是数列{b_n}的前n项和.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)求证:数列{b_n}是等比数列.

(1)解:由题a_n+1-a_n=1,即{a_n}是以2为首项,公差为1的等差数列.a_n=2+n-1=n+1.

(2)证明:由(b_n,T_n)在y=- QUOTE  x+1上,则T_n=- QUOTE  b_n+1,T_n-1=- QUOTE  b_n-1+1,n≥2,

b_n=- QUOTE  b_n+ QUOTE  b_n-1,n≥2,b_n= QUOTE  b_n-1,n≥2.又b₁=- QUOTE  b₁+1,得b₁= QUOTE  ,

则{b_n}是以 QUOTE  为首项,公比为 QUOTE  的等比数列.

5.已知等差数列{a_n}的首项a₁=3,且公差d≠0,其前n项和为S_n,且a₁,a₄,a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂,b₃,b₄.

(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式;

(2)证明: QUOTE  ≤ QUOTE  + QUOTE  +…+ QUOTE  < QUOTE  .

(1)解:设等比数列{b_n}的公比为q,

∵a₁,a₄,a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂,b₃,b₄,

∴(a₁+3d)²=a₁(a₁+12d).又a₁=3,∴d²-2d=0,∴d=2或d=0(舍去).

∴a_n=3+2(n-1)=2n+1.等比数列{b_n}的公比为q= QUOTE  = QUOTE  =3,b₁= QUOTE  =1.∴b_n=3^n-1.

(2)证明:由(1)知S_n=n²+2n,

∴ QUOTE  = QUOTE  = QUOTE  （ QUOTE  - QUOTE  ）,∴ QUOTE  + QUOTE  +…+ QUOTE  = QUOTE  = QUOTE  （1+ QUOTE  - QUOTE  - QUOTE  ）

= QUOTE  - QUOTE  （ QUOTE  + QUOTE  ）< QUOTE  .

∵ QUOTE  + QUOTE  ≤ QUOTE  + QUOTE  = QUOTE  ,∴ QUOTE  - QUOTE  ( QUOTE  + QUOTE  )≥ QUOTE  ,∴ QUOTE  ≤ QUOTE  + QUOTE  +…+ QUOTE  < QUOTE  .

挑战题

1.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,且a₂=2,S₅=15,数列{b_n}满足b₁= QUOTE  ,b_n+1= QUOTE  b_n.

(1)求数列{a_n},{b_n}的通项公式;

(2)记T_n为数列{b_n}的前n项和,f(n)= QUOTE  ,试问f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.

解:(1)设等差数列{a_n}的首项为a₁,公差为d,则 QUOTE  

解得a₁=1,d=1,∴a_n=n,由题意知 QUOTE  = QUOTE  ,∴ QUOTE  = QUOTE  ( QUOTE  )^n-1,∴b_n= QUOTE  .

(2)由(1),得T_n= QUOTE  + QUOTE  + QUOTE  +…+ QUOTE  ,

 QUOTE  T_n= QUOTE  + QUOTE  + QUOTE  +…+ QUOTE  ,所以T_n=2- QUOTE  ,又S_n= QUOTE  ,所以f(n)= QUOTE  = QUOTE  ,

f(n+1)-f(n)= QUOTE  - QUOTE  = QUOTE  ,

当n≥3,n∈N^*时,f(n+1)-f(n)<0,当n<3,n∈N^*时,f(n+1)-f(n)≥0,

又f(1)=1,f(2)= QUOTE  ,f(3)= QUOTE  ,∴f(n)存在最大值,为 QUOTE  .

2.已知函数f(x)= QUOTE  (x≠-1,x∈R),数列{a_n}满足a₁=a(a≠-1,a∈R),a_n+1=f(a_n)(n∈N^*).

(1)若数列{a_n}是常数列,求a的值;

(2)当a₁=4时,记b_n= QUOTE  (n∈N^*),证明数列{b_n}是等比数列,并求出通项公式a_n.

解:(1)因为f(x)= QUOTE  ,a₁=a,a_n+1=f(a_n)(n∈N^*),数列{a_n}是常数列,所以a_n+1=a_n=a,

即a= QUOTE  ,解得a=2或a=1.所以所求实数a的值是1或2.

(2)因为a₁=4,b_n= QUOTE  (n∈N^*),所以b₁= QUOTE  ,b_n+1= QUOTE  = QUOTE  = QUOTE  ,

即b_n+1= QUOTE  b_n(n∈N^*).所以数列{b_n}是以b₁= QUOTE  为首项,q= QUOTE  为公比的等比数列,

于是b_n= QUOTE  （ QUOTE  ）^n-1=（ QUOTE  ）ⁿ(n∈N^*),由b_n= QUOTE  ,即 QUOTE  =（ QUOTE  ）ⁿ,解得a_n= QUOTE  (n∈N^*),

所以所求的通项公式a_n= QUOTE  (n∈N)