发布者:韩新立 所属单位:珠海市第一中学 发布时间:2015-12-02 浏览数( -) 【举报】
等差数列与等比数列的综合
学习目标
等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式,前项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.
基础知识梳理
1、等差数列的性质
(1),
;
(2)在等差数列中,若,则 ,若
,则 ;
(3)若,
为等差数列,公差分别为
,则数列
,
,
为 数列;
(4)在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即,
,
,…为等差数列,公差为 ;
(5)等差数列的前项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也为等差数列,公差为 ;
(6)通项公式是是一次函数的形式;前
项和公式
是不含常数项的二次函数的形式。(注当
时,S n=na1, a n=a1)
(7)若,
,
有最 值,可由不等式组
来确定
;
若,
,
有最 值,可由不等式组
来确定.
2、等比数列的性质
(1);
(2)在等比数列中,若,则 ;若
,则 ;
(3)若,
均为等比数列,且公比分别为
,
,则数列
,
,
,
,
也为等比数列,且公比分别为 ;
(4)在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,
,
,…为等比数列,公比为 ;
(5)等比数列的前n项和为Sn,则,
,
,…也为等比数列,公比为 .
典型例题
考点1 性质的综合应用
【典例1】数列的前n项和记为
,
(1) 求数列的通项公式;
(2) 等差数列的各项为正,其前n项和为
,且
,又
成等比数列,求
.
(1);(2)
.
【变式1】已知等差数列的公差
,它的第1、5、17项成等比数列,
则这个等比数列的公比是 3
考点2 求数列通项及前n项和
【典例2】等比数列的前项和Sn,公比
,已知1是
和
的等差中项,6是
和
的等比中项.
(1)求和
的值;
(2)求此数列的通项公式;
(3)求此数列的前n项和.
(1);(2)
;(3)
.
【变式2】已知数列为等差数列,且
,
为等比数列,数列
的前三项依次为3,7,13.求:(1)数列
,
的通项公式;
(2)数列的前
项和
.
(1).
(2).
考点3 数列与解析几何、不等式的综合应用
【典例3】设曲线处的切线为
,数列
的首项
(其中常数m为正奇数),且对任意
,点
均在直线
上。
(1)
求出的通项公式;
(2)
令,当
恒成立时,求出n的取值范围,使得
。
(1);(2)
.
【变式3】已知数列的前n项和为
,对一切正整数n,点(Sn,n)都在函数
的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列
的前n项的和Tn.
(1);(2).
专项测试
1.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=( B).
A.3 B.4 C.5 D.6
2.在等比数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=( A ).
A.135 B.100 C.95 D.80
3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S1=1,eq \f(S4,S2)=4,则eq \f(S6,S4)的值为( A )
A.eq \f(9,4) B.eq \f(3,2) C.eq \f(5,3) D.4
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·5n-2-eq \f(1,5),则实数t的值为( B ).
A.4 B.5 C.eq \f(4,5) D.eq \f(1,5)
5.若一个等差数列前3项的和为34,最后三项的和为146,且所有项的和为,则这个数列有 13 项;
6.已知数列是等比数列,且
,
,
,则
9 .
7.等差数列前项和是
,前
项和是
,则它的前
项和是 210 .
8.等比数列的前
项和为
,
, 若
成等差数列,则
( D )
A. 7 B. 8 C. 16 D.15
5.设等差数列的公差
若
是
与
的等比中项,则k= 3 .
9.数列是首项
的等比数列,且
,
,
成等差数列,则其公比为( C )
A. B.
C.
或
D.
10.等差数列中,
,且
,
,
成等比数列,则
( B )
A. B.
C.
D.
A.4 B.5 C.24 D. 25
12.已知数列{},若点
(
)在经过点
的定直线
上,则数列{
}的前9项和
=( D )
A. 9 B. 10 C. 18 D.27
提高题
1.等差数列中,则
则
24 ,若数列
为等比数列,其前n项和
,若对任意
,点
均在函数
为常数)图象上,则r=
-1 .
1.已知数列的前
项和是
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列
的前
项和
.
(1);(2)
;
2.(2013山东理)设等差数列的前n项和为
,且
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为
,且
(
为常数).令
.求数列
的前n项和
.
(1);(2)
.
3.数列{an}满足an+1-an=2,a1=2,等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a8.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)an+1-an=2,a1=2,所以数列{an}为等差数列,
则an=2+(n-1)×2=2n,b1=a1=2,b4=a8=16,
所以q3= QUOTE
=8,q=2,则bn=2n.
(2)cn=anbn=n·2n+1,则Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,
2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n·2n+2,
两式相减得-Tn=1×22+23+24+…+2n+1-n·2n+2,整理得Tn=(n-1)2n+2+4.
4.在正项数列{an}中,a1=2,点An( QUOTE
, QUOTE
)在双曲线y2-x2=1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=- QUOTE
x+1上,其中Tn是数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{bn}是等比数列.
(1)解:由题an+1-an=1,即{an}是以2为首项,公差为1的等差数列.an=2+n-1=n+1.
(2)证明:由(bn,Tn)在y=- QUOTE
x+1上,则Tn=- QUOTE
bn+1,Tn-1=- QUOTE
bn-1+1,n≥2,
bn=- QUOTE
bn+ QUOTE
bn-1,n≥2,bn= QUOTE
bn-1,n≥2.又b1=- QUOTE
b1+1,得b1= QUOTE
,
则{bn}是以 QUOTE
为首项,公比为 QUOTE
的等比数列.
5.已知等差数列{an}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)证明: QUOTE
≤ QUOTE
+ QUOTE
+…+ QUOTE
< QUOTE
.
(1)解:设等比数列{bn}的公比为q,
∵a1,a4,a13分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4,
∴(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,∴d2-2d=0,∴d=2或d=0(舍去).
∴an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列{bn}的公比为q= QUOTE
= QUOTE
=3,b1= QUOTE
=1.∴bn=3n-1.
(2)证明:由(1)知Sn=n2+2n,
∴ QUOTE
= QUOTE
= QUOTE
( QUOTE
- QUOTE
),∴ QUOTE
+ QUOTE
+…+ QUOTE
= QUOTE
= QUOTE
(1+ QUOTE
- QUOTE
- QUOTE
)
= QUOTE
- QUOTE
( QUOTE
+ QUOTE
)< QUOTE
.
∵ QUOTE
+ QUOTE
≤ QUOTE
+ QUOTE
= QUOTE
,∴ QUOTE
- QUOTE
( QUOTE
+ QUOTE
)≥ QUOTE
,∴ QUOTE
≤ QUOTE
+ QUOTE
+…+ QUOTE
< QUOTE
.
挑战题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=2,S5=15,数列{bn}满足b1= QUOTE
,bn+1= QUOTE
bn.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记Tn为数列{bn}的前n项和,f(n)= QUOTE
,试问f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 QUOTE
解得a1=1,d=1,∴an=n,由题意知 QUOTE
= QUOTE
,∴ QUOTE
= QUOTE
( QUOTE
)n-1,∴bn= QUOTE
.
(2)由(1),得Tn= QUOTE
+ QUOTE
+ QUOTE
+…+ QUOTE
,
QUOTE
Tn= QUOTE
+ QUOTE
+ QUOTE
+…+ QUOTE
,所以Tn=2- QUOTE
,又Sn= QUOTE
,所以f(n)= QUOTE
= QUOTE
,
f(n+1)-f(n)= QUOTE
- QUOTE
= QUOTE
,
当n≥3,n∈N*时,f(n+1)-f(n)<0,当n<3,n∈N*时,f(n+1)-f(n)≥0,
又f(1)=1,f(2)= QUOTE
,f(3)= QUOTE
,∴f(n)存在最大值,为 QUOTE
.
2.已知函数f(x)= QUOTE
(x≠-1,x∈R),数列{an}满足a1=a(a≠-1,a∈R),an+1=f(an)(n∈N*).
(1)若数列{an}是常数列,求a的值;
(2)当a1=4时,记bn= QUOTE
(n∈N*),证明数列{bn}是等比数列,并求出通项公式an.
解:(1)因为f(x)= QUOTE
,a1=a,an+1=f(an)(n∈N*),数列{an}是常数列,所以an+1=an=a,
即a= QUOTE
,解得a=2或a=1.所以所求实数a的值是1或2.
(2)因为a1=4,bn= QUOTE
(n∈N*),所以b1= QUOTE
,bn+1= QUOTE
= QUOTE
= QUOTE
,
即bn+1= QUOTE
bn(n∈N*).所以数列{bn}是以b1= QUOTE
为首项,q= QUOTE
为公比的等比数列,
于是bn= QUOTE
( QUOTE
)n-1=( QUOTE
)n(n∈N*),由bn= QUOTE
,即 QUOTE
=( QUOTE
)n,解得an= QUOTE
(n∈N*),
所以所求的通项公式an= QUOTE
(n∈N)
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