基本不等式
发布者：韩新立 所属单位：珠海市第一中学 发布时间：2015-12-02 浏览数：0
§3.4基本不等式 (1)
学习目标
1， 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
,2，通过例题的研究，进一步掌握基本不等式
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.
知识要点
1：重要不等式：对于任意实数
，有
，当且仅当________时，等号成立.
2：基本不等式：设
，则
，当且仅当____时，不等式取等号.
3，重要不等式：
，当且仅当
时等号成立
4. 一般地，对于
个正数
，都有，
（当且仅当
时取等号）
5.
当且仅当
时取等号）
典型例题
例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m
的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
例2，若
，求
的最大值.
.
例3，求
(x>5)的最小值.
1的代换
例4 已知
，满足
，求
的最小值.
例5，某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
专项测试
1：已知
，求证：
.
2：若
，求的最小值
3. 若，
，且
，求xy的最小值.
4. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？
5. 若
，
且
，则
、
、
、
中最大的一个是（ ）.
A．
B．
C．
D．
6. 若实数a，b，满足
，则
的最小值是（ ）.
A．18 B．6 C．
D．
7. 已知x≠0，当x=_____时，x2＋
的值最小，最小值是________.
8. 做一个体积为32
，高为2
的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.
9. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）.
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若，则
10. 已知
，则函数
的最大值是（ ）.
A．2
B．3 C．1 D．
11. 若
，且
，则的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
12. 若，
，求
的最小值为 .
提高题
1. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
2. 一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
3. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
4. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12
，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
2下面给出的解答中，正确的是（ ）.
（A）y＝x＋ eq \f(1,x)≥2 eq \r(x· eq \f(1,x))＝2，∴y有最小值2
（B）y＝|sinx|＋ eq \f(4,|sinx|)≥2 eq \r(|sinx|· eq \f(4,|sinx|))＝4，∴y有最小值4
（C）y＝x（－2x＋3）≤ eq （ eq \f(x－2x＋3,2)）\s\up8(2)＝ eq （ eq \f(－x＋3,2)）\s\up8(2)，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值 eq （ eq \f(－1＋3,2)）\s\up8(2)＝1
（D）y＝3－ eq \r(x)－ eq \f(9, eq \r(x))≤3－2 eq \r( eq \r(x)· eq \f(9, eq \r(x)))＝－3，y有最大值－3
2.已知
，且
，.求证
.
2.
