浅 议 碰 撞 中 的 动 能 损 失

珠海市实验中学  曾建湘

摘要：当物体发生碰撞时，其损失的动能，以完全非弹性碰撞为最多。要证明这一结论，方法较多，本文从“求一元二次函数最值法”及“建立物理模型法”两个方面进行了论述。

关键词：碰撞，动能，损失。

当物体发生碰撞时，其损失的动能，因碰撞形势的不同，而有所区别，大家都知道，以完全非弹性碰撞为最多，但要证明这一结论，则比较困难，虽然在以前的杂志中也能见到（如“物理教学”1991、3期，1992、1期等），但大多比较复杂，难以让学生理解和接受。下面笔者以两种方法证明之：

一、求一元二次函数最值法

令质量为m₁和m₂的物体分别以v₁和v₂的速度在光滑的水平面上相向(或同向)运动，并发生了碰撞，碰撞之后，速度分别变为v1/和v2/，则由动量守恒定律可得:

m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁^/+m₂v₂^/...................……………………..............….⑴

即  v₁^/=(m₁v₁+m₂v₂-m₂v₂^/)/m₁...............................................…………………⑵

在碰撞中损失的动能为:

E_K= m₁v₁²/2+ m₂v₂²/2- m₂v₂^/2/2-m₁v₁^/2/2…………………………   ⑶

将⑵式代入⑶可得:

△E_K= m₁v₁²/2+ m₂v₂²/2- m₂v₂^{/ 2}/2-m₁ (m₁v₁+ m₂v₂- m₂v₂^/)²/2m₁²

=-m₂ (m₂+m₁)v₂^{/ 2}/2m₁+m₂ (m₁v₁+ m₂v₂)v^/2/m₁-2m₂v₁v₂+

m₂ (m₁-m₂)v₂²/2m₁……………………………………………………..….⑷

由此可见，△EK是关于v₂的一元二次函数，由于

a=-m₂(m₁+m₂)/2m₁<0.............................................................……..…⑸

因而 △E_K有极大值，即当

v₂^/=b/2a=( m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂).............................................………..⑹

时△E_K有极大值，此时由⑵式可得:

v₁^/=v₂^/.......................................................................………………...⑺

显然，当物体间发生了完全非弹性碰撞后，彼此速度相等，完全满足此条件。因此，发生了完全非弹性碰撞的物体损失的动能最多。

二、建立物理模型法

如图所示，A、B两物体在光滑水平面上发生了碰撞，碰撞时两物体发生了相互挤压，产生了较大的形变，碰撞中动能转化为弹性势能及内能。

图1为两物体碰撞前的情景，图2为两物体碰撞即将发生瞬间的情景，图3为两物体碰撞过程中相距最近压缩量达到最大徝的情景。

由大家所熟悉的“追击问题”知识可知，当两物体相距最近（即两者形变量达到最大徝）时，两物体的速度相等（此为完全非弹性碰撞的最根本表现），很显然，此时产生的弹性势能、内能最多，两物体损失的动能最多。

1）、如果此后两个物体速度维持相等，则它们之间的距离保持不变，即两者的形变量维持不变，损失的那一部分动能不再恢复。事实上，所谓完全非弹性碰撞，可以理解为相互作用的两物体没有一点弹性，发生了的形变一点也不能恢复，相互作用过程中损失的动能仅转化为物体的内能。因此，我们在实验中常在两物体碰撞位置处附加没有弹性的橡皮泥以实现这一情况。

2）、如果此后两个物体的形变完全恢复，前面产生的弹性势能、内能全部释放，又转化为物体的动能，即动能没有损失，这就是所谓的完全弹性碰撞。

3 )、如果此后两个物体的形变只有部分得以恢复，那么前面产生的弹性势能、内能也就仅有部分释放(笔者更倾向于认为，这种碰撞中仅有动能和内能的转化)恢复为动能。可见，这种碰撞中损失的动能介于两者之间，这也就是所谓的非完全弹性碰撞。

相比之下，这两种方法，后者回避了繁锁的数学演算论证，从学“物理”的角度来说，它更讲“理”，更有利于培养学生的理解能力。