《空间中直线与直线之间的位置关系》的教学案例与反思

编者： 李 玉群

一.分析与定位

     人教A版必修2《2.2空间中直线与直线的位置关系》的学习内容是异面直线的定义、平行公理。教材主要是以长方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系的类型与特点和掌握异面直线的判断方法与画法，然后介绍平行公理。教学重点有两个：1是异面直线的概念理解；2是平行公理的确认与应用。教学难点是克服“直线不平行就相交”的思维定势。教学难点突破的关键是利用数学本原矛盾创设问题情境，让异面的概念应运而生。  

二．教学设计

创设情境，探究新知，利用多媒体辅助教学，直观地演示教学内容。在观察、思考、概括、归纳等过程中及时向学生提出问题，使学生在问题带动下进行思维活动，让学生的思维活动得以充分展开。

三.精品片段与点评

  片段1： 以旧引新 酝酿概念

  师：平面内两条直线有哪几种位置关系？

众生：平行、相交......平行、相交、垂直

师：垂直算一类吗？垂直只是相交中的一类，换而言之，垂直是相交的子集。

师：在空间中两直线间是否也只有这两种位置关系呢？

【反思】:“思维始于疑问和惊讶”，引用“垂直是相交的子集”——学以致用。

片段2：创设情境 孕育概念

  放投影：如图，在长方体中，

  师：直线与的位置关系是？  

  众生：平行

 师：直线与 BC的位置关系是？     

  众生：相交

  师：直线与的位置关系是？     

  众生：平行

  师：与的位置关系呢？（众生沉默，个别学生偷偷说异面）

  师：平行吗？相交吗？

  生1、2、3：平行说不上，说相交也不妥。

  师：对，平行说不上，说相交也不妥，“很另类”！

 师：你们还能在图中找出哪些直线间有类似与的这种“很另类”位置关系？

  师：在我们数学世界里有个惯例：对于这种不能纳入以往关系分类体系中的关系，就必须用新的术语来刻画这种新关系——以示区别。你们能尝试用一个的新术语简洁明了而形象地刻画这样的关系吗？

众生：异面

师：假如你生活在尼罗河时代，你能说出“异面”就是了不起的数学家了。你们明白数学家们为什么用“异面”这个术语来刻画吗？

 （...众说纷纭）

师：根据平面的性质公理，平行直线和相交直线在不同的背后有什么是相同的？都能确定一个平面，“既不平行又不相交”能确定一个平面吗？不能，不仅“今生”不在同一平面，而且“前世”与“来世”都不能在同一平面，因此叫“异面”直线了。

【反思】：利用数学本原矛盾创设问题情境，化“冰冷的美丽”为“火热的思考”。不仅能让学生追寻数学家发明数学的足迹，促成数学知识的“直接经验化”，还数学应运而生的文化本真。

片段3：平行传递性公理的讲授

师：初中的平行传递性公理是怎么说的？

众生：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行

师：在空间中此结论仍成立吗？

生：成立......不成立。

师：观察正方体，思考若BB¹∥ AA¹，DD¹∥ AA¹， 那么BB¹与DD¹平行吗？为什么？

生1：平行

                 

师：生1回答的很好，说理也无懈可击。人类除此以外，还通过大量的事实验证的的确确是那么回事：在空间里也是——平行于同一条直线的两直线平行。

a

b

c

师：结合右图，同学们可以用数学符号把这条公理翻译出来吗？

师：两种都很好，就看各人习惯哪种。

【反思】：这里借助“普遍性寓于特殊性之中”，在心灵深处认可原理的客观真理性——完成数学原理的第一个心理历程；接着完成数学原理的第二个心理历程——把文字语言用符合语言“翻译”出来，自然水到渠成。

片段4：平行传递性公理的应用

师：学而时习之不亦说乎？下面我们学以致用。

例1：已知棱长为a的正方体ABCD－A¹B¹C¹D¹ 中，M、N分别为CD、AD的中点。求证：四边形是梯形。

  师：正如著名数学家海莫斯所言：“问题是数学的心脏”，著名数学教育家波利亚还说：“中学数学的首要任务就是解题”。同学们记不记得我教你们的基本套路了？

师：来，读题——像读古文一样，一个逗号一个逗号地读，把什么意味着什么找出来，把目标找出来。

众生：三角形中位线性质定理。

师：据华罗庚的“要...只要....”法，要证明四边形是梯形只要证什么？

 

师：理论上说两种途径都有可能，但我们观察图形在可能的前提下，哪种更可行？

师：为什么？

  师：很好，请大家规范地写出来解题过程。

（教师巡视指导，三分钟后教师示范）

  【反思】：例题的功能在于授人以渔举一反三。例题分析的思路主要是以“引探”的方式为主导启发学生思考，如:“问题表征”如何？;“要证...只要证...”“为什么”;围绕目标可能性途径——可行性途径——优越性途径一路设问分散收敛;把线路理清的条件下“写出来”是否符合简洁严缜的标准；提出有没有其他的方法和解题后有什么感悟的问题等等。但遗憾的是本环节欠缺足够的时间对规范作答作真实的暴露，解题经验未能及时反馈总结。假以时日，学生基本上能是循着“模仿——借鉴——创新”的道路历练出真正的解题能力的。