《双曲线及其标准方程》教学设计

佛山市南海区黄岐高级中学    陈恩恩

一、教材分析：

本节内容选自人教A版选修1-1第二章第二节双曲线的第一课时，是继学生学习了圆、椭圆以后运用坐标法研究几何问题的又一次实际演练，它是学习双曲线的性质及其应用的基础，为进一步研究抛物线提供了基本模式和理论基础。双曲线的定义与椭圆的定义很相似，

但不容易掌握，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，但同时也要注意与椭圆定义的联系与区别。

二、学情分析：

1、有利因素。学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法，而双曲线问题与椭圆问题有类似性，知识的正迁移作用可在本节课中充分显示。

2、不利因素。在学习过程，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性，因此学生概括起来有更高的难度．特别是对于为什么需要加绝对值，c与a有怎样的大小关系等等．冲突。

三、教学目标：

1、知识目标：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法。

2、能力目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比、数形结合的数学思想方法。

3、情感目标：通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法。

教学重点：双曲线的定义，求双曲线标准方程

教学难点：推导双曲线的标准方程

四、设计思想

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．所以这节课，我想采用与课本不同的处理方式，从探究动点的轨迹方程入手，再探究动点的轨迹，进而归纳出双曲线的完整定义及其标准方程，让学生在这个过程中充分体会到数学的两个主要研究对象数和形之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间的相互转化与相互渗透．

此外，双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课多采用探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

五、课前准备

教具准备：课件、学生讲义一份

教法准备：在教师的指导下探究学习，通过探究动点的轨迹方程——动点轨迹——归纳双曲线定义及方程，深化对双曲线的认识，并注意与椭圆的类比。

六、教学过程

（一）复习旧知，导入新知

问题1：椭圆的定义是什么？注意什么问题？

问题2：椭圆的标准方程是怎么样的？a,b,c的几何含义和关系是什么？

【边回顾知识，边播放课件，注重强调（1）椭圆定义中的2a与2c的大小关系对轨迹的影响；（2）a,b,c的范围及关系】

（二）尝试探究1——的轨迹

提出问题：在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？

问题3：若，的差为，问有几种情况？【引出差的绝对值为定值】

问题4：满足条件（a>0）的点一定存在吗？若存在，轨迹是什么？ 【让学生自由讨论，从中体会类似和分类讨论思想的重要性，并由此提出新的问题】

①当时，表示两条射线.

②当时，不表示任何图形.

③当时，的图像是什么？你能求出其轨迹方程吗？

（三）尝试探究2——（0<2a<2c）的轨迹方程

【请同学们模仿求椭圆标准方程的方法，建立适当的坐标系，推导动点的轨迹方程。】

回顾椭圆的标准方程的推导步骤：建系、设点、列式、化简

（1）建系.以F₁,F₂所在的直线为X轴，线段F₁F₂的中点为原点建立直角坐标系

（2）设点.设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F₁(-c,0),F₂(c,0)    常数=2a

（3）列式．||MF₁|-|MF₂||=2a   ||MF₁|-|MF₂||=2a

即

（4）化简.

问题5：椭圆方程化简中是如何处理的？

，

令（），得，即．

问题6：推导的过程是一个等价变形的过程吗？(是)

问题7： 有其它建立直角坐标的方法吗？【得到的轨迹方程】

问题8： 你能画出方程对应的图像吗？即方程的轨迹是什么？

（四）尝试探究3——方程的轨迹

问题9：你有什么方法可以画出方程的图像？

【让学生采用列表描点的方法，动手实验画出方程的图像，并用几何画板加以验证。在此过程中注意解释三个问题：（1）取点时x的限制；（2）图像的向两边无限延展性；（3）图像的对称性。由此过程再一次让学生充分体会“数形结合”的数学思想以及数学的严谨性】

问题10：方程与方程的图像

O

 

 

 

 

 

 

（五）归纳和完善双曲线的定义及标准方程

★定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|且不等于零）的点轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距．

问题11：定义中要注意些什么问题？若去掉这些限制条件还是双曲线吗？

★标准方程：

当焦点在x轴上，中心在原点时，方程形式： 

当焦点在y轴上，中心在原点时，方程形式：

注：参数a,b,c的关系：（）  

（六）对比总结、整合新知识——归纳和比较椭圆和双曲线的定义及标准方程

	椭圆		双曲线
定 义
图 形
标准方程
焦 点
a.b.c的关系
焦点位置的判定

（七）应用解题、巩固新知识

例题1：①双曲线，____,____,焦点坐标是_____________，焦距是_____。

②双曲线，____,____,焦点坐标是_____________，焦距是_____。

归纳：判断焦点坐标在哪个坐标轴的方法:哪一项的系数为正，则焦点在相应的那个轴上。

思考：已知方程表示焦的双曲线，则m的取值范围是_____。

例题2：已知双曲线焦点的坐标为F₁(-5,0),F₂(5,0)，双曲线上一点P到F₁, F₂的距离的差的绝对值等于6，则：

（1）________,________，________。

（2）双曲线的标准方程________________________。

（3）双曲线上一点Ｐ，|PF₁|=10,则|PF₂|=__________。

﹡注：要向学生指明，如果某种轨迹适合某种曲线的定义，就不必再用列方程求解，只要利用定义求出常规待定系数即可。

（八）课堂小结

（1）知识小结：

双曲线的标准方程双曲线的图像双曲线的定义

（2）方法小结：类比法——类比椭圆中的方法解决双曲线中的问题

               数形结合——轨迹与轨迹方程的相互转化与相互渗透

               分类讨论——对轨迹的存在性和形状进行分类讨论。

（九）板书设计

                                                                                           

双曲线及其标准方程 双曲线的定义              三 例1：         定义的挖掘              双曲线的标准方程             例2 推导：