递推数列特征方程的发现

一、问题的提出

递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。

在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：

已知斐波那契数列…)，求通项公式。

参考书上的解法是这样的：

解   此数列对应特征方程为即，解得，

    设此数列的通项公式为，

由初始条件可知，

  ，解之得，

所以。

这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。

二、研究与探索

问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：

若数列满足其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：

设 ，

令，即，当时可得

，

知数列是以为公比的等比数列，

将代入并整理，得.

将上述参数法类比到二阶线性递推数列能得到什么结论？

仿上，我们来探求数列的特征：

不妨设，

则,        令           ①

（1） 若方程组①有两组不同的实数解,

则,

          ,

即、分别是公比为、的等比数列，

由等比数列性质可得,

                  ,

∵由上两式消去可得

.

（2） 若方程组①有两组相等的解，易证此时，则

…，

,即是等差数列，

由等差数列性质可知，

所以．

（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）

这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去即得，显然、就是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：

设递推公式为其特征方程为，

1、 若方程有两相异根、，则；

2、 若方程有两等根，则.

其中、可由初始条件确定。

这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令，就可求得斐波那契数列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”！

将上述方法继续类比到分式线性递推数列（），看看又会有什么发现？

仿照前面方法，等式两边同加参数，

则              ②

令，即                     ③

记此方程的两根为，

（1） 若，将分别代入②式可得

     

以上两式相除得，

于是得到为等比数列，其公比为，

数列的通项可由求得；

（2）若，将代入②式可得,

考虑到上式结构特点，两边取倒数得

                     ④

由于时方程③的两根满足，∴

于是④式可变形为

∴为等差数列，其公差为，

数列的通项可由求得．

这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列（）的特征方程为，即，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论：

分式线性递推数列（），其特征方程为，即，

1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为；

2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为.

值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，有兴趣的读者不妨一试。

三、应用举例

例1、 已知数列且，求通项公式。

解   设，∴

     令          可得

于是…，

∴，即是以为首项、为公差的等差数列，

∴，从而.

例2、设数列满足.

 解： 对等式两端同加参数得

令，解之得，，代入上式

得

两式相除得

即的等比数列，

∴．

四、收获与反思

        随着普通高中课程改革的逐步深入，要求广大教师在新课标理念指导下，大胆实施课堂教学改革。如何创造性地处理教学内容，无疑是一项十分现实的课题。由于数学知识呈现方式的多样性、解决问题策略的多选择性和数学思维的开放性，教师既要加强学习，不断充实自己的知识结构，做到高屋建瓴而游刃有余，还要不断提高驾驭教材的能力，“用好教材”、“超越教材”而不拘泥于教材，根据学生的实际情况，因材施教，使学生知其然，更知其所以然，帮助学生寻找适合自己的学习方式，“授人以鱼不如授之以渔”，在培养学生学习兴趣的同时激发学生的思维，时时体味“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的美妙意境。