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用计算机编程解决问题
问题:韩信点兵
秦朝末年,楚汉相争。一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬,杀声震天。汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排,结果多出2名;接着命令士兵5人一排,结果多出3名;他又命令士兵7人一排,结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布:我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团。交战不久,楚军大败而逃。
提出问题:韩信怎么很快就知道士兵的人数,用什么方法计算,结果可信吗?
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”
实例是一个数学问题:《初步数论》解同余式。
数学原型:
一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数。这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中的解同余式。
一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数。
分析问题
解:
先列出除以3余2的数:2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26…x≡2(mod 3)
再列出除以5余3的数:3, 8, 13, 18, 23, 28… x≡3 (mod 5)
这两列数中,首先出现的公共数是8。3与5的最小公倍数是15。
两个条件合并成一个就是8 mod 15整数,列出这一串数是8, 23, 38,…,
再列出除以7余2的数 2, 9, 16, 23, 30… x≡2 (mod 7)
事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23。23 (mod 105)
x={x|x≡2mod3,x≡3mod5,x≡2mod7}
x≡23 mod 105
被105除余23。
那么韩信点的兵在1000-1100之间,应该是105×10+23=1073人。
算法设计:
算法一:枚举法
算法说明:
枚举从1到1500的整数
对每个整数进行判断,是否符合以下条件:
1.整数对3求余,余数为2;
2.整数对5求余,余数为3;
3.整数对7求余,余数为2。
符合条件的整数输出来。
2015年