《直线与平面垂直的判定》教案

佛山市南海区大沥高级中学  林惠贤

一.教材内容分析：

1.本节课内容在整个教材中的地位和作用。

本节课是高中数学2（必修）第二章第三节直线与平面垂直的判定的第一课时，本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。

直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。

 2.教学目标

（1）、知识与技能

（1)掌握直线与平面垂直的定义，理解并掌握直线与平面垂直的判定定理

(2)会判断一条直线与一个平面是否垂直，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题

（2）、过程与方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理。

（3）、情感、态度与价值观

在探索直线与平面垂直的定义和判定定理的过程中，发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想，让学生亲身经历数学研究的过程，学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。同时也提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.教学重点、难点确定。

重点：直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究。

难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及定理的运用。

二.教法学法分析：

数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了①创设情景——引入新课，②交流探究——发现规律，③启发引导——形成结论，④练习小结——深化巩固，⑤思维拓展——提高能力,五个环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。              

三. 教学流程图

             

构建直线与平面垂直的概念

探究直线与平面垂直的判定定理

直线与平面垂直判定定理的应用

课堂小结与作业

                 

 

 

 

 

 

 

 

四、教学过程：

1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象

问题1（引入）：前面我们已经学习了直线与平面平行，今天，我们来学习直线与平面另外一种特殊的位置关系。请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

师：刚才同学们举的例子都很好，说明大家都有一双善于观察和发现的眼睛。的确，我们的生活中存在了大量的直线与平面垂直的例子，比如说……

问题2：那么，我们应该怎样去定义一条直线与一个平面垂直呢？

2.提炼直线与平面垂直的定义

问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．

(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B₁C₁的位置关系如何?依据是什么？

设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。

（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

思考1：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？即：若，则)

思考2：能把定义中的任意一条改为无数条吗？

设计意图：深化直线与平面垂直的概念的理解。

通常定义可以作为判定依据，但由于利用定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验。这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。

3.探究直线与平面垂直的判定定理

创设情境  猜想定理：

师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

　　问题4：（1）折痕AD与桌面垂直吗？

　（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）

设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直。

　　问题5：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？

 

对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）

设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线。

　　问题6：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证

，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？

设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。

根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法。（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

　　问题7：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?

　　（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?   

设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.

定理的实际应用

某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？

   设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生“用数学”的意识，同时通过提出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解。

　　4.直线与平面垂直判定定理的应用

堂上练习及拓展：如图5，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，(1)请列举与直线A₁A垂直的平面 ；(2) 请列举与平面ABCD垂直的直线 ；它们有什么关系？

例1：如图6，已知，则吗？请说明理由。

设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系。

例2：如图，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点。

求证：AC⊥平面VKB

思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；

(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，对吗？ 

设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的定义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理。3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通。

5.课堂小结

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。

（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？

设计意图：以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括。

6、目标检测设计

课堂教学既要面向全体学生，又应关注学生的个体差异。体现分类推进，分层教学的原则。为此，我设计了必做题和选做题，

1．课本P₇₃探究：如图2.3-7，直四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A₁C⊥B₁D₁．（必做题）

2．如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形。（必做题）

3．课本P₇₄练习2 （选做题） 

设计意图：第1题是本节教材中的一道探究题，主要运用直线与平面垂直的定义与判定定理；第2题也是活用直线与平面垂直的定义与判定定理，前两题重在检测本节课的知识与技能目标，检测运用知识解决问题的能力；第3题通过学生探索，培养学生观察——分析——归纳和综合运用知识的能力。

五、板书设计