“杨辉三角与二项式系数的性质”教学设计

佛山三中      冯敏仪

一、教学目标：

1、知识与能力目标：

①了解杨辉及杨辉三角；初步认识杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力。

②理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；

③理解和初步掌握赋值法。

2、德育目标：培养学生爱国主义精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。

二、教学重点、难点：

二项式系数的性质、赋值法。

三、教学过程：

（一）复习：

二项式定理，二项展开式的通项，二项式系数，项的系数。

（二）新课讲解：

师：（提出问题）问题1：( a+b ) 13 的展开式中二项式系数最大的项是第几项？

学生思考……

师：n=13时展开式的二项式系数太多，能否先观察n=1，2，3．．．时的二项式系数，找找规律？（引导学生进行归纳推理）

展开式的二项式系数，当依次取…时，如下表所示：

……………………   ………………………………  

…………………  ……………………………    

………………   ………………………      

……………     ………………1        

…………       ………1         

………      ……          

                       ………………………………

………   ……… ………

师：因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角二项式系数表（杨辉三角）。杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

（让学生了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感。）

师：请大家观察，在杨辉三角中，各行二项式系数的数量关系中有什么共同的规律。

生1：左右对称。

生2：前半部分递增，后半部分递减。

生3：n取偶数时，中间一项的系数最大，n取奇数时，中间两项的系数最大。

师： 非常好。大家已经归纳出了二项式系数的三个性质，现在我们来一起证明它们。

性质1  对称性：  与首末两端“等距离的两个二项式系数相等”，即（此式由组合数性质得出）

性质2  增减性：

师：如何比较出二项式系数前后项的大小？

生：作差或作商。

师：现在请同学们在练习本写出证明过程。（请一位同学在黑板书写，并点评）

  方法1（作差法）：

                         

   ＞0

∴当n+1-2r＞0，即r＜时，＞0，此时二项式系数逐渐增大，

由对称性知它的后半部分是逐渐减小。

方法2（作商法）：＞0

              ∴

   当＞1，即r＜时，＞1，此时二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小。

性质3  最大值：由增减性和对称性，易得当是偶数时，中间一项取得最大值；当

是奇数时，中间两项，取得最大值。

师：现在回到问题1，同学们能回答吗？

生：展开式共14项，中间的第7和第8项的二项式系数最大。（学生迅速回答）

师：（变式1） ( 1+x ) 12 的展开式中系数最大的项是第几项？

生：此时系数与二项式系数相等，展开式共13项，中间的第7项的系数最大。

师：（变式2） ( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是第几项？

生：此时展开式共14项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，中间的第7、8项的二项式系数最大，所以第8项的系数最小。

师：二项式系数还有其他的性质吗？请看下面问题（问题2）：一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为    （       ） 

 (A)20          (B)219         （C）220             (D)220 － 1

   生1：由分步原理，完成这件事共分20步（即分别判断20个灯泡的好坏），每步各有2种选择，共220 种可能，其中20个灯泡都是好时，彩灯会亮，应排除，所以应选D。

   师：很好，对分步原理理解得不错。还有其它方法吗？

   生2：由分类原理，导致彩灯不亮的可能有20类：⑴其中1个灯泡坏了，有种不同可能；⑵其中2个灯泡坏了，有种不同可能；⑶其中3个灯泡坏了，有种不同可能；…⒇其中20个灯泡坏了，有种不同可能，总可能性有种，但具体结果运算起来比较麻烦。

   师：有什么方法能减少运算量呢？

   学生思考……

师：刚才大家在杨辉三角中发现了许多规律，上面组合数的求和方法，能否也在杨辉三角中找到？

学生开始观察，找规律。

生：当n=1时，+=；n=2时，++= 4 =；

n=3时，+++= 8 =，

由此，猜测 +++…++… +=

师：非常好，你已经猜出了二项式系数的另一个性质，那就是

性质4  各二项式系数和 +++…++…+=

证明方法有：数学归纳法，赋值法等（重点介绍赋值法）

在展开式中，

令，则 +++…++… +=

则   ．

师：在的展开式中，假如令，又会得到什么结论呢？

（教学意图：让学生加深了解赋值法）

    学生思考，演算……

在展开式中，

令，则，

即，

∴，

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

由性质（4）知  .

   师：赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问

题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定

理中的应用尤为明显，现以例说明．

已知，求：

    （1）；   （2）；  （3）。

解：（1）当时，，展开式右边为

∴，

当时，，

∴，

（2）令，       ① 

令，     ②

①② 得：，∴ .

（3）由展开式知：均为负，均为正，

∴

．

  

四、课堂小结：

⑴二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有四条性质，要理解和掌握好。

⑵理解和初步掌握“赋值法”，它是解决有关二项展开式系数问题的重要手段。

五、作业：

1．课本第47页   B组 1.(6)  、6、7；

2．课外探究与发现：“杨辉三角”中的一些秘密。